群环的动态 Groebner 基理论与钻石合成引理的研究
批准号：
12061068
项目类别：
地区科学基金项目
资助金额：
32.0 万元
负责人：
古丽沙旦木·玉奴斯
依托单位：
学科分类：
群与代数的结构
结题年份：
2024
批准年份：
2020
项目状态：
已结题
项目参与者：
古丽沙旦木·玉奴斯
项目摘要
结项摘要
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中文摘要
本项目的研究内容由两个部分组成。第一部分将用 Yengui 在给出主理想环和 Dedikind 环上多项式环的动态（dynamical）Groebner 基时的思想研究有单位元的交换环上的群环的动态 Groebner 基与钻石合成引理。这里我们讨论交换环的原因是 Yengui 的主要思想是通过局部化来解决非可逆系数的问题。第二部分研究交换代数上的几种代数的钻石合成引理及 Groebner-Shirshov 基理论。在域上的许多代数的钻石合成引理及 Groebner-Shirshov 基已得到，我们的目的是把这些结果推广到交换代数上。
英文摘要
This project consists of two parts. In the first part, we will study the dynamical Groebner basis theory and dynamical composition -diamond lemma of group rings over commutative rings with identities by using the idea of Yengui which he used to study the dynamical Groebner basis theory of polynomial rings over principal ideal domain and Dedikind domain. Here we restrict the ring to be commutative because the main idea of Yengui is to use localization technique. In the second part , we will study the composition -diamond lemma and the Groebner-Shirshov basis for some algebras over commutative algebra. Up to now , the composition -diamond lemma and the Groebner-Shirshov basis are known for many algebras over fields, our aim is to generalize these results to over commutative algebra.
本项目的研究内容由两个部分组成。第一部分将用Yengui在给出主理想环和Dedikind环上多项式环的动态(dynamical)Groebner基时的思想研究有单位元的交换环上的群环的动态Groebner基与钻石合成引理。这里我们讨论交换环的原因是Yengui的主要思想是通过局部化来解决非可逆系数的问题。第二部分研究交换代数上的几种代数的钻石合成引理及Groebner-Shirshov基理论。在域上的许多代数的钻石合成引理及Groebner-Shirshov基已得到，我们的目的是把这些结果推广到交换代数上。在这四年的研究工作中，我们得到了以下结果:(1)成功给出了C_n型退化Ringel-Hall代数的表示;(2)用Groebner-Shirshov基方法证明了广义down-up代数是可解多项式代数，并且研究了其分次结构;(3)证明了微分算子代数的所有2-局部导子是导子;(4)构造了G2-型modified Ringel-Hall代数(复形的Hall代数)的Groebner-Shirshov基和PBW基;(5)构造了An-型m-periodic lattice代数的Groebner-Shirshov基和PBW基;(6)利用Gröbner-Shirshov基理论证明了q-Heisenberg代数和Clifford-Weyl代数是可解多项式代数，并且用构造性的和计算性的方法建立了q-Heisenberg代数和Clifford-Weyl代数的一些结构性性质;(7)证明了超W(2,2)代数的所有局部导子都是导子;(8)用Groebner-Shirshov基理论和PBW基理论证明了q-Heisenberg代数和Clifford-Weyl代数是迭代Skew多项式环并研究了其Cohen-Macaulay 性质;(9)证明了一维微分算子代数的局部导子是导子;(10)用Groebner-Shirshov基理论解决了近世代数中的判断有限代数扩张是否是单扩张，并且在肯定的情况下计算出扩张本原元等问题。我们认为以上结果在研究这些代数的结构中起到一定的作用。
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