A functional relation for the Tornheim double zeta function
A functional relation for the Tornheim double zeta function
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DOI：
10.4064/aa125-3-3
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发表时间：
2006
期刊：
影响因子：
0.7
通讯作者：
Takashi Nakamura
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Takashi Nakamura
t = 0的情况（即t（s，0，u））称为euler – zagier double zeta函数[10]。 n在1950年首次由Tornheim [7]和后来的Mordell [5]研究。Tornheim[7，定理7]表明，t（a，b，c）可以表示为{ζ（j）|中的多项式。 2≤j≤a + b + c}，当a + b + c奇数时，有理系数t（2R，2R，2R）和t（2R- 1，2R，2R+1）[7，定理8]也是如此，但他没有给出系数[5，定理III]。 （2R，2R，2R）=krπ6R，对于1985年Subbarao和sitaramachandrarao [6，定理4.1]明确确定t（2p，2q，2r）+t（2q，2q，2p） ，2p，2q）（p，q，r∈N）。通过服用p = q = r，他们给出了t（2r，2r，2r）（r∈N）的明确公式[6，备注3.1]。 t（r，0，n -r）（r∈N，n∈2n+1，1≤r≤n -2），t（p，q，q，n -p - q）（p，q∈N∪{p，q∈N∪{ 0}，n∈2n + 1，1≤p +q≤n -1，0≤p，q≤n -2）和t（r，r，r）（r）（r）（r） ∈N）。
The case of t = 0, that is T (s, 0, u), is called the Euler–Zagier double zeta function [10]. The values T (a, b, c) for a, b, c ∈ N were first investigated by Tornheim [7] in 1950 and later Mordell [5] in 1958. Tornheim [7, Theorem 7] showed that T (a, b, c) can be expressed as a polynomial in {ζ(j) | 2 ≤ j ≤ a+ b+ c} with rational coefficients when a + b + c is odd, and that the same is true for T (2r, 2r, 2r) and T (2r− 1, 2r, 2r+1) [7, Theorem 8], but he did not give the coefficients. Mordell [5, Theorem III] proved that T (2r, 2r, 2r) = krπ 6r for some rational number kr. In 1985 Subbarao and Sitaramachandrarao [6, Theorem 4.1] explicitly determined T (2p, 2q, 2r)+T (2q, 2r, 2p)+T (2r, 2p, 2q) (p, q, r ∈ N). Then, by taking p = q = r, they gave an explicit formula for T (2r, 2r, 2r) (r ∈ N) [6, Remark 3.1]. In 1996 Huard, Williams and Zhang [3, Theorems 1–3] determined T (r, 0, N−r) (r ∈ N, N ∈ 2N+1, 1 ≤ r ≤ N−2), T (p, q,N − p − q) (p, q ∈ N ∪ {0}, N ∈ 2N + 1, 1 ≤ p + q ≤ N − 1, 0 ≤ p, q ≤ N − 2) and T (r, r, r) (r ∈ N). In 2002 Tsumura [8, Theorem 1]