Ratios of harmonic functions with the same zero set
Ratios of harmonic functions with the same zero set
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具有相同零集的调和函数的比率
DOI：
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发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
E. Malinnikova
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Logunov;E. Malinnikova
我们研究单位球 $${Bsubset mathbb{R}^n}$$B⊂Rn 中具有相同零集 Z 的调和函数 u,v 的比率。比率 $${f=u/v}$$f=u/v 可以扩展到 B 中的实解析无处消失函数。我们证明了 Harnack 不等式和任意维度上此类比率的梯度估计：对于给定的紧凑集 $${Ksubset B}$$K⊂B，我们证明 $${sup_K|f|le C_1inf_K|f|}$$supK|f|≤C1infK|f|和$${sup_Kleft|
阿布拉夫
ight|le C_2 inf_K|f|}$$supK∇f≤C2infK|f|，其中 C1 和 C2 仅取决于 K 和 Z。在第二维中，我们通过证明只有 u 的节点域数量（即 $${Bsetminus Z}$$B 的连通分量数量）起作用，来指定这些不等式中常数对 Z 的依赖性。
We study the ratio of harmonic functions u,v which have the same zero set Z in the unit ball $${Bsubset mathbb{R}^n}$$B⊂Rn. The ratio $${f=u/v}$$f=u/v can be extended to a real analytic nowhere vanishing function in B. We prove the Harnack inequality and the gradient estimate for such ratios in any dimension: for a given compact set $${Ksubset B}$$K⊂B we show that $${sup_K|f|le C_1inf_K|f|}$$supK|f|≤C1infK|f| and $${sup_Kleft|
abla f
ight|le C_2 inf_K|f|}$$supK∇f≤C2infK|f|, where C1 and C2 depend on K and Z only. In dimension two we specify the dependence of the constants on Z in these inequalities by showing that only the number of nodal domains of u, i.e. the number of connected components of $${Bsetminus Z}$$B, plays a role.