Spectrum of multidimensional periodic operators
Spectrum of multidimensional periodic operators
复制标题
多维周期算子的谱
DOI：
--
复制
发表时间：
1990
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
O. Veliev
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
O. Veliev
设 Ω 为 n 维欧几里得空间 Rn 中的晶格，并令 F 为晶格 Ω 的基本域。我们用 H 表示在 L2(Rn) 中通过表达式 −‡u + q(x)u(1) 生成的薛定谔算子，用 Ht 表示在 L2(F) 中通过表达式 (1) 和准周期边界条件生成的算子，其中 q(x) 是周期（相对于晶格 Ω）函数。得到算子 Ht 特征值的渐近公式，并借助这些公式证明存在一个数 λ(q)，使得区间 [λ(q), ∞] 属于算子 H 的谱[对于足够光滑势 q(x) 的情况下 n≥3，而对于来自 L2(F) 的任何势 q(x) n=2]，即 Bethe-Sommerfeld 猜想为证明了任意格。
Let Ω be a lattice in the n-dimensional Euclidean space Rn and let F be the fundamental domain of the lattice Ω. We denote by H the Schrödinger operator generated in L2(Rn) by the expression −‡u + q(x)u(1), and by Ht the operator generated in L2(F) by the expression (1) and by quasiperiodic boundary conditions, where q(x) is a periodic (with respect to the lattice Ω) function. Asymptotic formulas for the eigenvalues of the operator Ht are obtained and with the aid of these formulas it is proved that there exists a number λ(q) such that the interval [λ(q), ∞] belongs to the spectrum of the operator H [for n≥3 in the case of sufficiently smooth potentials q(x), while for n=2 for any potential q(x) from L2(F)], i.e., the Bethe-Sommerfeld conjecture is proved for arbitrary lattices.