Uniqueness and stability of 3D heat sources
Uniqueness and stability of 3D heat sources
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DOI：
10.1088/0266-5611/7/1/006
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发表时间：
1991-02
期刊：
影响因子：
2.1
通讯作者：
J. Cannon;S. Pérez-Esteva
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Cannon;S. Pérez-Esteva
本文讨论了在R ~ 3中寻找一个包含于R ~ 3中的区域D和一个函数U=U（x，t）使得U ~ t = Delta U+ chi D（x）f（t），x在R ~ 3中，t>0，U（x，0）=0，x在R ~ 3中的唯一性问题;其中对于某个开集V，U（（x1，x2，0），t）=g（x1，x2，t），对于R3中的某个固定p，U（p，t）=g（t）。设A（r）=面积（rS 2交点D），其中S2是R3中的单位球面，r是以原点为中心的球面rS 2的半径。对于数据U（0，t）=S（t），他们得出一个估计。因此，D的球面平均A（r），包含在以原点为中心的半径为M的球中，并且足够光滑，使得A（r）是保持器连续的，指数为α，由U（0，t）=g（t）唯一确定。将这个结果应用于U（x1，x2，t）=S（x1，x2，t），他们看到球面平均值A（（x1，x2，0），T），其中（x1，x2，0）是半径为r的球面的中心，由g（x1，x2，t）唯一确定。从这一点和一个已知的结果积分几何它遵循D是唯一确定的。
The authors discuss the uniqueness of the problem of finding a region D contained in/implied by R3 and a function U=U(x,t) such that Ut= Delta U+ chi D(x)f(t),x in R3, t>0; U(x,0)=0, x in R3; with either U((x1,x2,0),t)=g(x1,x2,t), (x1,x2) in V contained in/implied by R2 for some open set V, or U(p,t)=g(t) for some fixed p in R3. Let A(r)=area(rS2 intersection D), where S2 is the unit sphere in R3 and r is the radius of the sphere rS2 centred at the origin. For the data U(0,t)=S(t) they derive an estimate. Thus spherical averages A(r) of D, which are contained in the ball centred at the origin with radius M and which are smooth enough that A(r) is Holder continuous with exponent alpha are uniquely determined by U(0,t)=g(t). Applying this result to U(x1,x2,t)=S(x1,x2,t) they see that spherical averages A((x1,x2,0),T), where (x1,x2,0) is the centre of the sphere of radius r, are uniquely determined by g(x1,x2,t). From this and from a known result on integral geometry it follows that D is uniquely determined.