A generalization of the Chowla-Selberg formula and the zeta functions of quadratic orders
A generalization of the Chowla-Selberg formula and the zeta functions of quadratic orders
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Chowla-Selberg 公式和二次阶 zeta 函数的推广
DOI：
10.3792/pjaa.66.201
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发表时间：
1990
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
M. Kaneko
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Kaneko
本文的目的是提出一个恒等式，它推广了Chowla和Selberg关于CM椭圆曲线周期与虚二次阶zeta函数的关系的一个公式.我们首先提出恒等式作为数字证据，然后提出Y。Nakkajima和Y.田口用算术几何的技巧在代数上证明了它（[2]）。我们在这里采用的分析方法，使用zeta函数。1.审查和结果。设K是具有判别式D的虚二次域，O是O个整数环，W是单位群0的阶，Z是由扩张K/Q确定的模[D]的二次Dirichlet特征标.对于C中的格L，定义g ~ 2（L）= 60 ~（2-），g_s（L）= 140 ~ 2L，A（L）g ~ 2（L）= 27 g（L）.“判别式”d（L）为。非零的，并且具有性质（1）A（L）=-IA（L），对于e C。取K的一个理想，考虑F（）-A（）A（-I）的值。由（1）它只依赖于类O？I在理想Elass群Cl（O）中。K中复数乘法的椭圆曲线的任何周期与F（）的24次根相差一个代数常数。ChowlaSelberg公式用gamma值表示F（）对CI（OK）的乘积：
The purpose of this note is to present an identity which generalizes a formula of Chowla and Selberg on the periods o CM elliptic curves in connection with the zeta functions of imaginary quadratic orders. We first proposed the identity as the numerical evidence and then Y. Nakkajima and Y. Taguchi have proved it algebraically by using the technique ro.m arithmetic geometry ([2]). We employ here an analytical approach using zeta functions. 1. Review and result. Let K be an imaginary quadratic field with discriminant D, O its ring o integers, w the order of unit group 0, and Z the quadratic Dirichlet character modulo [D determined by the extension K/Q. For a lattice L in C, define g2(L)--60 ’ 2-, gs(L)= 140 2L and A(L) g2(L)-27g(L). The "discriminant" d(L) is. non-zero and has the property ( 1 ) A(L)=-IA(L) for e C. Take an ideal of K and consider the value F()--A()A(-I). By (1) it depends only on the class o ?I in the ideal elass group Cl(O). Any period of elliptic curves with complex multiplication in K differs by an algebraic cnstant rom the 24-th root of F(). The ormula o ChowlaSelberg expresses the product o F() over CI(OK) by gamma values: