On sequences containing at most 4 pairwise coprime integers
On sequences containing at most 4 pairwise coprime integers
复制标题
在最多包含 4 个成对互质整数的序列上
DOI：
10.1016/j.disc.2012.11.008
复制
发表时间：
2010-12
影响因子：
0.8
通讯作者：
Zhou, Xiao-Feng
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Chen, Yong-Gao;Zhou, Xiao-Feng
设f（n,k）为不超过n且不能从中选择k+1个成对素数的最大正整数，设E（n,k）为不超过n且能被p1，p2，…，pk中至少一个整除的正整数集合，其中pi为第i个素数。1962年Erdős推测对于所有n≥pk， f(n,k)=|E(n,k)|。1973年，崔证明了k=3时该猜想成立。1988年，Mócsy证实了k=4的猜想。1994年，Ahlswede和Khachatrian反驳了k=212的猜想。对于n≥49，如果a （n,4）是一个不超过n的正整数集合，使得不能从a （n,4）和|中选出5个对素数整数a (n,4)|≥|E(n,4)|，则a (n,4)=E（n,4）。我们也证明了当k=211时，这个猜想是假的。提出了若干有待进一步研究的开放性问题和猜想。
Let f(n,k) be the largest number of positive integers not exceeding n from which one cannot select k+1 pairwise coprime integers, and let E(n,k) be the set of positive integers which do not exceed n and can be divided by at least one of p1,p2,…,pk, where piis the i-th prime. In 1962, Erdős conjectured that f(n,k)=|E(n,k)| for all n≥pk. In 1973, Choi proved that the conjecture is true for k=3. In 1988, Mócsy confirmed the conjecture for k=4. In 1994, Ahlswede and Khachatrian disproved the conjecture for k=212. In this paper we give a new proof of the following result: for n≥49, if A(n,4) is a set of positive integers not exceeding n such that one cannot select 5 pairwise coprime integers from A(n,4) and |A(n,4)|≥|E(n,4)|, then A(n,4)=E(n,4). We also prove that the conjecture is false for k=211. Several open problems and conjectures are posed for further research.
DOI：
10.1090/s0002-9947-1973-0327710-7
发表时间：
1973-09
影响因子：
1.3
作者：
S. Choi
通讯作者：
S. Choi
DOI：
10.1090/pspum/008/0174539
发表时间：
2001
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
P. Erdos
通讯作者：
P. Erdos
影响因子：
0.7
作者：
R. Ahlswede;L. Khachatrian
通讯作者：
R. Ahlswede;L. Khachatrian