The distribution of the largest digit in continued fraction expansions
The distribution of the largest digit in continued fraction expansions
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DOI：
10.1017/s0305004108001771
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发表时间：
2009-01
影响因子：
0.8
通讯作者：
Jun Wu;Jian Xu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jun Wu;Jian Xu
设[a1（x），a2（x），. . .]是x ∈ [0，1）的连分式展开。写Tn（x）=max{ak（x）：1 ≤ k ≤ n}。Philipp [6]证明了$$T（x）=：\liminf\limits_{n\to \infty}{ T_n（x）\log\log n\over {n}}=\frac{1}{\log 2}\ a.e.$$ Okano [5]证明了对任意k ≥ 2，存在x ∈ [0，1）使得T（x）=1/logk.本文证明了对任意α ≥ 0，集合E（\alpha）=\left\{x\in [0，1），\lim\limits_{n\to \infty}{T_n（x）\log\log n\over {n}}=\alpha\right\}$$的Hausdorff维数为1.
Abstract Let [a1(x), a2(x), . . .] be the continued fraction expansion of x ∈ [0,1). Write Tn(x)=max{ak(x):1 ≤ k ≤ n}. Philipp [6] proved that $$T(x)=:\liminf\limits_{n\to \infty}{ T_n(x)\log\log n\over {n}}=\frac{1}{\log 2}\ \ \ a.e..$$ Okano [5] showed that for any k ≥ 2, there exists x ∈ [0, 1) such that T(x)=1/log k. In this paper we show that, for any α ≥ 0, the set $$E(\alpha)=\left\{x\in [0,1), \lim\limits_{n\to \infty}{T_n(x)\log\log n\over {n}}=\alpha\right\}$$ is of Hausdorff dimension 1.