Rook Theory, Generalized Stirling Numbers and (p, q)-Analogues
Rook Theory, Generalized Stirling Numbers and (p, q)-Analogues
复制标题
Rook 理论、广义斯特林数和 (p, q)-类似物
DOI：
10.37236/1837
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发表时间：
2004
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
M. Wachs
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Remmel;M. Wachs
在本文中，我们定义了第一类和第二类广义斯特林数 $S^1(\alpha,\beta,r)$ 和 $S^2(\alpha,\beta,r)$ 的两个自然 $(p,q)$ 类似物，如 Hsu 和 Shiue [Adv.在应用程序中。数学。 20（1998），366-384]。我们证明，在 $\beta =0$ 且 $\alpha$ 和 $r$ 为非负整数的情况下，我们的 $(p,q)$ 类似物都具有车理论的自然解释，并为它们导出了许多生成函数。我们还展示了如何用有色集划分和有色限制增长函数来解释第二类广义斯特林数的 $(p,q)$ 类似物。最后，我们展示了第一类广义斯特林数的 $(p,q)$ 类似物可以用有色排列来解释，以及它们如何与根据某些自然统计的排列和有符号排列的生成函数相关。
In this paper, we define two natural $(p,q)$-analogues of the generalized Stirling numbers of the first and second kind $S^1(\alpha,\beta,r)$ and $S^2(\alpha,\beta,r)$ as introduced by Hsu and Shiue [Adv. in Appl. Math. 20 (1998), 366–384]. We show that in the case where $\beta =0$ and $\alpha$ and $r$ are nonnegative integers both of our $(p,q)$-analogues have natural interpretations in terms of rook theory and derive a number of generating functions for them. We also show how our $(p,q)$-analogues of the generalized Stirling numbers of the second kind can be interpreted in terms of colored set partitions and colored restricted growth functions. Finally we show that our $(p,q)$-analogues of the generalized Stirling numbers of the first kind can be interpreted in terms of colored permutations and how they can be related to generating functions of permutations and signed permutations according to certain natural statistics.