Quaternionic Transformations and the First Eigenvalues of Laplacian on a Quaternionic Kähler Manifold
Quaternionic Transformations and the First Eigenvalues of Laplacian on a Quaternionic Kähler Manifold
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四元数凯勒流形上的四元数变换和拉普拉斯第一特征值
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发表时间：
2001
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Henrik L. Pedersen
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Henrik L. Pedersen
我们考虑四元凯勒流形（M，g，Q）的四元变换。对于给定的Q，四元数Kähler结构（g，Q）唯一性的一般条件被应用到两个四元数Kähler度量通过四元数变换而对应的情况。给出了允许一个不同于等距的四元数变换φ的紧致四元数Kähler流形的特征.在具有正数量曲率的紧致四元数Kähler流形上，得到了Laplacian第一非零特征值的精确估计，改进了C.M.马杰林O. Hijazi和J. - L. Milhorat，[9]. Transformation quaternioniennes et prèmière valeur propre du Laplacien sur une variété Kähler-quaternionienne Resumé.考虑Kählerquaternionienne（M，g，Q）的四元数变换。Kähler四元数g结构唯一性的一般条件，Q结构的四元数Q不适用于对应于一个transmitted四元数的两种Kähler四元数。关于Kählerquaternioniennes变量的一个特性，它与一个等距的transmittent四元数φ不同。本文还讨论了Laplacien对Kähler-quaternionienne变换的一个正标度函数的最优估计，并改进了C.M.马杰林对狄拉克算符的最优估计类似于O. Hijazi et J.- L. Milhorat，[9].由奥地利联邦科学和研究部支持。关于C.N.R.部分支持索罗斯计划“文化倡议”（俄罗斯）和M.U.R.S.T.（意大利）打字机AMS-TEX 1 2 D. V. ALEKSEEVSKY，S. MARCHIAFAVA Version française abrégée.在[4]中关于Kählerquaternioniennes变量的性质与变换无穷小四元数无关的一个猜想的一个肯定反应的注记中，Kählerquaternioniennes变量的性质与变换无穷小四元数无关。同时考虑到四元数变换组的全部结果和完整性，而不是确定与同一性的组合，因此在拉普拉斯变换和拉普拉斯函数之间建立了优先权。因此，在M变量上的Kähler-quternionienne方法，是Riemannienne与Hol-Sp1 · Spn完全经济学的一种方法[5，17]。因此Q是M上的四元数结构：它具有一个三维自同态的子空间，一个三元组H =（J1，J2，J3）的平行输运不变量和一个三元组H =（J1，J2，J3）的局部化不变量。关于三元组（M，g，Q）是凯勒四元数的一个变种。本文还讨论了g度量对四元数结构Q的从属性。假设dimM = 4 n> 4。在爱因斯坦的力学中，g是一个常数，即k =（K/4 n）g，而K =常数是Ricci的张力和标量场。定义了v = K/4 n（n+ 2）时的标量场。定义. 1)一个变换φ de（M，g，Q）estite quaternionienne sielle preserve la structure quaternionienne Q：φ Q = Q. 2)向量Z ∈ χ（M）的一个例子是通过生成一个四元数变换的一个（局部）参数群来表示四元数.我们要把结果告诉你。Théorème 1.因此（M，g，Q）是一个Kahler四元数变体，说明（1）Rham（M，g）的分解不是Euclidien因子。假设Q存在一个Kahler-quaternionienne g′ subordonnée，而g不是一个Kahler-quaternionienne g ′。此外，1）变量Z是矢量梯度四元数的冠军，而不是Killing的冠军。2)如果加上M变量，则（M，g）在四元数投影HP空间中是等距的，而四元数投影HP空间中的四元数投影则是等距的，并且四元数投影的四元数投影。泰奥瑞姆2.因此，（M，g，Q）一个变量Kähler-四元数，它满足（1）。如果在（M，g，Q）中加入一个等距的transmittance四元数，则HP与标准gcan（v）等距。Théorème 3.因此（M，g，Q）一个Kähler-quaternionienne变量是正的，它是正的。在Laplacien中，λ1的第一个正值是ν1 = 2（n+ 1），而在正的情况下，如果λ1 = ν1，则HP的变量是等距的，而标准gcan（ν）的变量是等距的。他必须指出，C. M.已经获得了ν1 ≤ λ1的小数点。Margerin和O. Hijazi et J.- L. Milhorat，[9].
We consider quaternionic transformations of a quaternionic Kähler manifold (M, g,Q). General conditions for unicity of the quaternionic Kähler structure (g,Q) for given Q are applied to the case of two quaternionic Kähler metrics which are in correspondence through a quaternionic transformation. Characterization of compact quaternionic Kähler manifolds which admit a quaternionic transformation φ different from an isometry is given. A sharp estimate of first non zero eigenvalue for Laplacian on a compact quaternionic Kähler manifold with positive scalar curvature is also obtained, improving a previous result of C.M. Margerin. An analogous sharp estimate for Dirac operator was established by O. Hijazi and J.-L. Milhorat, [9]. Transformation quaternioniennes et prèmière valeur propre du Laplacien sur une variété Kähler-quaternionienne Resumé. On considére les transormations quaternioniennes d’une variété Kählerquaternionienne (M, g,Q). Des conditions génerales d’unicité de la structure Kählerquaternionienne g,Q pour la structure quaternionienne Q donnée sont appliquées au cas de deux métriques Kähler-quaternioniennes qui se correspondent par une transormation quaternionienne. On donne une caractérisation des variétés Kählerquaternioniennes compactes qui admettent une transormation quaternionienne φ différente d’une isometrie. On abtient aussi une estimation optimale de la première valeur propre positive du Laplacien sur une variété Kähler-quaternionienne compacte à courbure scalaire positive, en améliorant un résultat précedent de C.M. Margerin. Une estimation optimale analogue pour l’operateur de Dirac avait été établit par O. Hijazi et J.-L. Milhorat, [9]. Supported by the Federal Ministry of Science and Research, Austria This work was done under the program of G.N.S.A.G.A. of C.N.R. with partial support by Soros program ‘Cultural initiative’(Russia) and by M.U.R.S.T. (Italy) Typeset by AMS-TEX 1 2 D.V. ALEKSEEVSKY, S. MARCHIAFAVA Version française abrégée. Dans cette Note on donne une répose affirmative à une conjecture enoncée en [4], concernant la caractérisation des variétés Kählerquaternioniennes admettant des transormations infinitésimales quaternioniennes qui ne sont pas des champs de Killing. On donne même des résultats plus complets soit en considérant le groupe des transformations quaternioniennes tout entier, et pas seulement sa composante connexe de l’identité, soit en établissant des liens précis entre des telles transformations et les fonctions propres du Laplacien sur la variété. Soit g une métrique Kähler-quternionienne sur une varété M , c’est à dire une métrique Riemannienne avec groupe d’holonomie Hol ⊂ Sp1 · Spn [5,17]. Soit Q la structure quaternionienne sur M associée a g: il s’agit d’un sous fibré 3-dimensionnel du fibré des endomorphismes, invariant par transport parallèle et engendré localement par une triple H = (J1, J2, J3) de structures presque-complexes qui anticommutent et telles que J3 = J1J2. On dit que le triple (M, g,Q) est une variété Kähler-quaternionienne. On dira aussi que la metrique g est subordonnée à la structure quaternionienne Q. On conviendra que dimM = 4n > 4. Dans ce cas la métrique g est d’Einstein, c’est á dire ric = (K/4n)g, où ric et K = const sont le tenseur de Ricci et la courbure scalaire. On définit la courbure scalaire réduite par ν = K/4n(n+ 2). Definitions. 1) Une transformation φ de (M, g,Q) est dite quaternionienne si elle preserve la structure quaternionienne Q : φ∗Q = Q. 2) Un champ de vecteur Z ∈ χ(M) est dit quaternionien s’il engendre un group (local) á 1 paramètre de transformations quaternioniennes. Nous prouvons les résultats suivant. Théorème 1. Soit (M, g,Q) une variété Kähler-quaternionienne telle que (1) la décomposition de de Rham de (M, g) n’as pas de facteur Euclidien. Supposons qu’il existe une métrique Kähler-quaternionienne g′ subordonnée à Q et qui n’est pas homothétique à la métrique g. Alors 1) la variété admet un champ de vecteur gradient quaternionien Z qui n’est pas un champ de Killing. 2) Si de plus la variété M est compacte, alors (M, g) est isométrique à l’espace projectif quaternionien HP doué de la métrique standard á courbure scalaire reduite ν, gcan(ν). Théorème 2. Soit (M, g,Q) une variété Kähler-quaternionienne compacte et qui satisfait à (1). Si elle admet une transormation quaternionienne différente d’une isométrie alors (M, g,Q) est isometrique à HP n doué de la métrique standard gcan(ν). Théorème 3. Soit (M, g,Q) une variété Kähler-quaternionienne compacte, la courbure scalaire réduite est positive, égale à ν. Alors la première valeur propre positive λ1 du Laplacien n’est past inférieure à ν1 = 2(n+ 1)v. De plus, si λ1 = ν1, la variété est isométrique à HP n doué de la métrique standard gcan(ν). Il faut remarquer que la minoration ν1 ≤ λ1 avait été déjà obtenue par C.M. Margerin et, aussi, que l’analogue du Théorème 3 pour l’operateur de Dirac a été étabil par O. Hijazi et J.-L. Milhorat, [9].