Ueber Flächen von constanter Gaussscher Krümmung
Ueber Flächen von constanter Gaussscher Krümmung
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尤贝尔·弗莱兴·冯·康斯坦特·高斯克鲁蒙
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通讯作者：
D. Hilbert
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作者：
D. Hilbert
在Beltrami-Jverklicht一个Fläche von negativer constant Krümmung ein Stück einer LoBATSCHEFSKUschen（nicht-EuKLiDischen）Ebene之后，如果LoBATSCHEFSKUschen Ebene的Geodätischen Linien der Fläche von constant Krümmung betrachtet和als Längen和温克尔在LoBATSCHEFSKUschen Ebene中的Geodätischen Linien der Fläche von constant Krümmung betrachtet和als Längen和温克尔auf der Fläche nimmt。Unter den bisher untersuchten Flächen negativer constanter Krümmung finden wir keine，die sich stetig und mit stetiger Aenderung ihrer Tangentialebene in der Umgebung jeder Stelle überall hin ausdehnt ; vielmehr besitzen die bekannten Flächen negativer constanter Krümmung singuläre Linien，über die hinaus eine stetige Fortsetzung mit stetiger Aenderung der Tangentialebene nicht möglich ist。从这个基础上，我们可以看出，没有一个更好的确定Flächen negativer constant Krümmung的方法，这一组LoBATSCHEFSKUsche Ebene可以非常清楚地显示出来，并且我们可以通过一个分析Fläche negativer constant Krümmung的方法来确定Flächen negativer constant Krümmung的方法，这一组LoBATSCHEFSKUsche Ebene不能通过一个分析Fläche negativer constant Krümmung的方法来确定BELTRAMiscTie是否可以在韦尔登地区进行。在这段对话中，我们从Annahme的一个负的常数Krümmung-1的分析Fläche中，最终都是规则的，而不是单一的Stellen aufweist;我们韦尔登接着说，Annahme在一个宽的spruch führt上。Eine solche Fläche，wie we ir sie annehmen wollen，ist durch folgende Aussagen vollständig charakterisirt：Jede im Endlichen gelegene Versiontungstelle von Punkten der Fläche ist ebenfalls ein Punkt der Fläche.由于O irgend einen Punkt der Fläche，so ist es stets möglich，das rechtwinklige Coordinatenkreuz x，y，z so zu legen，dass O der Anfangspunkt des Coordinatensy stems wird and die Gleichung der Fläche in der Umgebung dieses Punktes O wie folgt lautet：
Nach Beltrami-Jverwirklicht eine Fläche von negativer constanter Krümmung ein Stück einer LoBATSCHEFSKUschen (nicht-EuKLiDischen) Ebene, wenn man als Gerade der LoBATSCHEFSKUschen Ebene die geodätischen Linien der Fläche von constanter Krümmung betrachtet und als Längen und Winkel in der LoBATSCHEFSKUschen Ebene die wirklichen Längen und Winkel auf der Fläche nimmt. Unter den bisher untersuchten Flächen negativer constanter Krümmung finden wir keine, die sich stetig und mit stetiger Aenderung ihrer Tangentialebene in der Umgebung jeder Stelle überall hin ausdehnt ; vielmehr besitzen die bekannten Flächen negativer constanter Krümmung singuläre Linien, über die hinaus eine stetige Fortsetzung mit stetiger Aenderung der Tangentialebene nicht möglich ist. Aus diesem Grunde gelingt es mittelst keiner der bisher bekannten Flächen negativer constanter Krümmung, die ganze LoBATSCHEFSKUsche Ebene zu verwirklichen, und es erscheint uns die Frage von principiellem Interesse, ob die ganze LoBATSCHEFSKUscAe Ebene überhaupt nicht durch eine analytische Fläche negativer constanter Krümmung auf die BELTRAMiscTie Weise zur Darstellung gebracht werden kann. Um diese Frage zu beantworten, gehen wir von der Annahme einer analytischen Fläche der negativen constanten Krümmung —1 aus, die im Endlichen überall sich regulär verhält und keine singulären Stellen aufweist; wir werden dann zeigen, dass diese Annahme auf einen Widerspruch führt. Eine solche Fläche, wie wir sie annehmen wollen, ist durch folgende Aussagen vollständig charakterisirt : Jede im Endlichen gelegene Verdichtungstelle von Punkten der Fläche ist ebenfalls ein Punkt der Fläche. Bedeutet O irgend einen Punkt der Fläche, so ist es stets möglich, das rechtwinklige Coordinatenkreuz x, y, z so zu legen, dass O der Anfangspunkt des Coordinatensy stems wird und die Gleichung der Fläche in der Umgebung dieses Punktes O wie folgt lautet :