Constant mean curvature planes with inner rotational symmetry in Euclidean 3-space
Constant mean curvature planes with inner rotational symmetry in Euclidean 3-space
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欧几里得 3 空间中具有内旋转对称性的恒定平均曲率平面
DOI：
10.1007/bf02571730
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发表时间：
1994
影响因子：
0.8
通讯作者：
D. Ferus
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Martin Timmreck;U. Pinkall;D. Ferus
在共形参数中，欧几里得 3 空间中恒定平均曲率 (cmc) 表面的可积条件简化为单个函数的 sinh-Gordon 方程（o 代表度量，请参阅 [2]。具有固定点（类似于 Enneper 表面）的固有等距 Sl 作用的存在可简化为 Painlev6 型 ODE。使用此方法，我们证明具有上述属性的每个非球面 cmc 表面都扩展到对于每个脐带和固定平均曲率 H 的正确浸没的 cmc 表面，本质上存在一个此类表面的 1 参数族。通过相同的方法，我们可以研究等距的平移 1 参数组，请参阅 [3, 4]，但我们忽略了这一点。Smyth 的早期预印本 [-3] 没有回答适当性问题，并且分类包含一些冗余参数。 Bobenko [5] 的一篇论文对表面的结构进行了更彻底的研究。
In conformal parameters the integrability condition for constant mean curvature (cmc) surfaces in Euclidean 3-space reduces to a sinh-Gordon equation for a single function (o representing the metric, see [2]. The existence of an intrinsic isometric Sl-action with a fixed point (similar to the one of Enneper's surface) gives reduction to an ODE of Painlev6-type. Using this, we prove that each nonspherical cmc-surface with the above property extends to a properly immersed cmc-surface with a single umbilic. For each order of this umbilic and fixed mean curvature H, there is essentially a 1-parameter family of such surfaces. By the same method one can study translational 1-parameter groups of isometries, see [3, 4], but we omit this. An earlier preprint of Smyth [-3] on the same subject did not answer the question of properness, and the classification contained some redundant parameters. The asymptotic behaviour of the surfaces is studied more thoroughly in a paper by Bobenko [5].