The Role of Frolov's Cubature Formula for Functions with Bounded Mixed Derivative
The Role of Frolov's Cubature Formula for Functions with Bounded Mixed Derivative
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有界混合导数函数的 Frolov 体积公式的作用
DOI：
10.1137/15m1014814
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发表时间：
2016
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
T. Ullrich
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
M. Ullrich;T. Ullrich
本文证明了单位立方体上具有齐次边界条件的控制混合光滑函数空间中数值积分的Frolov求积公式的收敛阶的上界。更准确地说，我们研究了Besovand Triebel-Lizorkin空间的最坏情况下的积分误差，我们的结果处理整个范围内的容许参数。特别地，我们得到了Triebel-Lizorkin空间在小光滑情形下的上界.所提出的最坏情况下的错误的上限显示了一个完全不同的行为相比，“大”平滑。在后一种情况下，给出的上界是最优的，即，它们不能通过任何其它体积公式来改进。“小”光滑度的最优性是开放的。
We prove upper bounds on the order of convergence of Frolov's cubature formula for numerical integration in function spaces of dominating mixed smoothness on the unit cube with homogeneous boundary condition. More precisely, we study worst-case integration errors for Besovand Triebel--Lizorkin spacesand our results treat the whole range of admissible parameters. In particular, we obtain upper bounds for the difficult the case of small smoothness which is given for Triebel--Lizorkin spacesin casewith. The presented upper bounds on the worst-case error show a completely different behavior compared to “large” smoothness. In the latter case the presented upper bounds are optimal, i.e., they cannot be improved by any other cubature formula. The optimality for “small” smoothness is open.
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