Nonlocal gradient operators with a nonspherical interaction neighborhood and their applications
Nonlocal gradient operators with a nonspherical interaction neighborhood and their applications
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具有非球面相互作用邻域的非局部梯度算子及其应用
DOI：
10.1051/m2an/2019053
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发表时间：
2020
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Du, Qiang
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Lee, Hwi;Du, Qiang
非局部梯度算子是一类典型的非局部微分算子，在非局部模型的研究中具有重要的意义。这种研究的最简单的变分设置之一是非局部狄利克雷能量，其中能量密度在非局部梯度中是二次的。有早期的研究，以照亮的狄利克雷能量和径向对称的内核，构成非局部梯度算子的积分算子的形式的相互作用强度之间的联系。在这项工作中，我们采用了不同的视角，并专注于非局部梯度算子与非球形的相互作用的邻域。我们发现，截断的球形相互作用邻域的半球有助于使非局部梯度算子定义良好，相关的非局部狄利克雷能量强制性。这些都是可能的，不像完整的球形邻域的情况下，没有任何额外的假设，在原点附近的内核的强度。然后，我们提出了一些应用的非局部梯度算子与非球相互作用的邻域。这些包括力学中的非局部线性模型，如非局部各向同性线性弹性和非局部斯托克斯方程，以及亥姆霍兹分解的非局部扩展。
Nonlocal gradient operators are prototypical nonlocal differential operators that are very important in the studies of nonlocal models. One of the simplest variational settings for such studies is the nonlocal Dirichlet energies wherein the energy densities are quadratic in the nonlocal gradients. There have been earlier studies to illuminate the link between the coercivity of the Dirichlet energies and the interaction strengths of radially symmetric kernels that constitute nonlocal gradient operators in the form of integral operators. In this work we adopt a different perspective and focus on nonlocal gradient operators with a non-spherical interaction neighborhood. We show that the truncation of the spherical interaction neighborhood to a half sphere helps making nonlocal gradient operators well-defined and the associated nonlocal Dirichlet energies coercive. These become possible, unlike the case with full spherical neighborhoods, without any extra assumption on the strengths of the kernels near the origin. We then present some applications of the nonlocal gradient operators with non-spherical interaction neighborhoods. These include nonlocal linear models in mechanics such as nonlocal isotropic linear elasticity and nonlocal Stokes equations, and a nonlocal extension of the Helmholtz decomposition.
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