Mathematics of Smoothed Particle Hydrodynamics: A Study via Nonlocal Stokes Equations
Mathematics of Smoothed Particle Hydrodynamics: A Study via Nonlocal Stokes Equations
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光滑粒子流体动力学的数学：非局部斯托克斯方程的研究
DOI：
10.1007/s10208-019-09432-0
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发表时间：
2019
影响因子：
3
通讯作者：
Tian, Xiaochuan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Du, Qiang;Tian, Xiaochuan
光滑粒子流体动力学（SPH）是一种用于模拟复杂流体流动的数值方法。其关键成分之一是使用非局部积分松弛局部微分。在连续介质水平上对相应的非局域模型进行数学分析，可以为进一步理解SPH提供理论依据。在这一部分，我们提出了一系列的数学工作的SPH，一个非局部松弛到传统的线性定常Stokes系统的不可压缩粘性流。非局部连续介质模型的特点是用光滑长度来度量非局部相互作用的范围。它作为一个桥梁之间的离散近似计划，涉及一个非局部积分松弛和当地连续模型。我们证明了对于一类精心选择的非局部算子，所得到的非局部Stokes方程是适定的，并且当趋于零时，在局部极限中恢复了原来的Stokes方程。对于其他一些常用的光滑核，存在获得不适定连续模型的风险，这可能导致实际计算困难。这使我们讨论我们的发现对数值方法设计的影响。
Smoothed particle hydrodynamics (SPH) is a popular numerical technique developed for simulating complex fluid flows. Among its key ingredients is the use of nonlocal integral relaxations to local differentiations. Mathematical analysis of the corresponding nonlocal models on the continuum level can provide further theoretical understanding of SPH. We present, in this part of a series of works on the mathematics of SPH, a nonlocal relaxation to the conventional linear steady-state Stokes system for incompressible viscous flows. The nonlocal continuum model is characterized by a smoothing lengthwhich measures the range of nonlocal interactions. It serves as a bridge between the discrete approximation schemes that involve a nonlocal integral relaxation and the local continuum models. We show that for a class of carefully chosen nonlocal operators, the resulting nonlocal Stokes equation is well-posed and recovers the original Stokes equation in the local limit whenapproaches zero. For some other commonly used smooth kernels, there are risks in getting ill-posed continuum models that could lead to computational difficulties in practice. This leads us to discuss the implications of our finding on the design of numerical methods.
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