Cardinality of wellordered disjoint unions of quotients of smooth equivalence relations
Cardinality of wellordered disjoint unions of quotients of smooth equivalence relations
复制标题
光滑等价关系商的良序不相并并的基数
DOI：
10.1016/j.apal.2021.102988
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发表时间：
2021
影响因子：
0.8
通讯作者：
Jackson, Stephen
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Chan, William;Jackson, Stephen
设ZF+ AD ++ V= L（P（R））.设表示双射中存在的关系。设κ∈ ON，< E α：α< κ>使得对所有α< κ，E α是R上的等价关系，且所有类都是可数的，R/E α <$R.则不交并<$α< κ R/E α是R× κ的双射，<$α< κ R/E α具有Jónsson性质。假设ZF+ AD ++ V= L（P（R））。一个集合X <$[ω 1]< ω 1在R上有一个等价关系序列< E α：α< ω 1>，使得R/E α <$R和X <$<$R/E α< ω 1当且仅当R <$ω 1注入X。假设AD。设R <$[ω 1] ω× R是一个关系，使得对所有f∈[ω 1] ω，Rf ={x∈ R：R（f，x）}是非空的可数关系.然后有一个不可数的X <$ω 1和函数Φ：[X] ω→ R，它在[X] ω上一致化R：也就是说，对所有f∈[X] ω，R（f，Φ（f））。在AD下，如果κ是序数，< E α：α< κ>是R上所有类都可数的等价关系序列，则[ω 1] ω不注入到ε α< κ R/E α中.
Abstract Assume ZF+ A D++ V= L (P (R)). Let≈ denote the relation of being in bijection. Let κ∈ ON and< E α: α< κ> be such that for all α< κ, E α is an equivalence relation on R with all classes countable and R/E α≈ R. Then the disjoint union⨆ α< κ R/E α is in bijection with R× κ and⨆ α< κ R/E α has the Jónsson property. Assume ZF+ A D++ V= L (P (R)). A set X⊆[ω 1]< ω 1 has a sequence< E α: α< ω 1> of equivalence relations on R such that R/E α≈ R and X≈⨆ α< ω 1 R/E α if and only if R⊔ ω 1 injects into X. Assume AD. Suppose R⊆[ω 1] ω× R is a relation such that for all f∈[ω 1] ω, R f={x∈ R: R (f, x)} is nonempty and countable. Then there is an uncountable X⊆ ω 1 and function Φ:[X] ω→ R which uniformizes R on [X] ω: that is, for all f∈[X] ω, R (f, Φ (f)). Under AD, if κ is an ordinal and< E α: α< κ> is a sequence of equivalence relations on R with all classes countable, then [ω 1] ω does not inject into⨆ α< κ R/E α.
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