Large time behavior of ODE type solutions to higher-order semilinear parabolic equations with small initial data
Large time behavior of ODE type solutions to higher-order semilinear parabolic equations with small initial data
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小初始数据高阶半线性抛物型方程 ODE 型解的大时间行为
DOI：
10.1016/j.jmaa.2022.126625
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发表时间：
2023
影响因子：
1.3
通讯作者：
Eom Junyong
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jie Gao;Ikuma Adachi;Eom Junyong
设u是半线性抛物型方程（Pm）的柯西问题的解{u = u+（-Δ）m u=| u| α在RN ×（0，∞）中，u（x，0）= λ+ φ（x）> 0在RN中，其中m= 1，2，n，0< α< 1，N≥ 1，λ> 0，φ B（RN）<$Lr（RN），其中1≤ r<∞.在m= 1的情形下，利用比较原理，可以很容易地证明当t→∞时，问题（Pm）的解u表现为常微分方程<$′=<$α在（0，∞）中的正解.当m≥ 2时，由于缺少比较原理，当t→∞时，问题（Pm）的解u与常微分方程的解的性质并不明显.本文通过引入一个小性条件<$φ <$L∞（RN）< c，其中c依赖于m，α和λ，证明了当t→∞时，解u的性质类似于常微分方程的解.进一步，我们得到了解u的大时间行为的精确描述，揭示了扩散效应（Pm）与解u的大时间行为的关系.
Let u be a solution to the Cauchy problem for semilinear parabolic equations (P m){∂ t u+(− Δ) m u=| u| α in R N×(0,∞), u (x, 0)= λ+ φ (x)> 0 in R N, where m= 1, 2,⋯, 0< α< 1, N≥ 1, λ> 0, φ∈ B C (R N)∩ L r (R N) with 1≤ r<∞. In the case of m= 1, by the comparison principle, one can easily show that the solution u to problem (P m) behaves like a positive solution to ODE ζ′= ζ α in (0,∞) as t→∞. In the case of m≥ 2, because of the lack of the comparison principle, it is not obvious that the solution u to problem (P m) behaves like a solution to the ODE as t→∞. In this paper, by imposing a smallness condition‖ φ‖ L∞(R N)< c with a certain constant c dependent on m, α and λ, we prove that the solution u behaves like a solution to the ODE as t→∞. Furthermore, we obtain the precise description of the large time behavior of the solution u and reveal the relationship between the diffusion effect (P m) has.
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