Goussarov-Polyak-Viro Conjecture for degree three case
Goussarov-Polyak-Viro Conjecture for degree three case
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三级案例的 Goussarov-Polyak-Viro 猜想
DOI：
10.1142/s0218216522500195
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发表时间：
2022
影响因子：
0.5
通讯作者：
Takamura Masashi
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Ito Noboru;Kotorii Yuka;Takamura Masashi
虽然已经知道长虚结的三次Vassiliev不变量的维度是7，但7个不同的Gauss图公式的完整列表一直是未知的，其中只有一个已知的公式被未经证明地修正。本文给出了表示三次不变量(命题4)的七个高斯图公式。进一步给出了经典纽结的高斯图公式(命题5)。特别地，Polyak-Viro Gauss图公式[M.Polyak和O.Viro，Int.数学课。第1994(1994)445-453号决议]不是一个长虚结不变量；然而，它被包括在公式列表中。目前还不清楚这个公式是否会通过箭图演算自动得到。因此，由于它涉及Goussarov-Polyak-Viro猜想[经典节点和虚拟节点的有限类型不变量，Topology 39(2000)1045-1068，猜想3.C]，对于所有三次有限型长虚拟节点不变量，每个Gauss图公式都表示为经典节点的Vassiliev不变量的公式(定理1)。
Although it is known that the dimension of the Vassiliev invariants of degree three of long virtual knots is seven, the complete list of seven distinct Gauss diagram formulas has been unknown explicitly, where only one known formula was revised without proof. In this paper, we give seven Gauss diagram formulas to present the seven invariants of the degree three (Proposition 4). We further giveGauss diagram formulas of classical knots (Proposition 5). In particular, the Polyak–Viro Gauss diagram formula [M. Polyak and O. Viro, Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants,Int. Math. Res. Not.1994(1994) 445–453] is not a long virtual knot invariant; however, it is included in the list offormulas. It has been unknown whether this formula would be available by arrow diagram calculus automatically. In consequence, as it relates to the conjecture of Goussarov-Polyak-Viro [Finite-type invariants of classical and virtual knots,Topology39(2000) 1045–1068, Conjecture 3.C], for all the degree three finite type long virtual knot invariants, each Gauss diagram formula is represented as those of Vassiliev invariants of classical knots (Theorem 1).
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