Hessenberg varieties of parabolic type
Hessenberg varieties of parabolic type
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抛物线型 Hessenberg 品种
DOI：
10.1007/s10711-021-00626-x
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发表时间：
2021
影响因子：
0.5
通讯作者：
Tymoczko, Julianna
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Precup, Martha;Tymoczko, Julianna
本文研究了三个相互关联的簇的几何和组合：施普林格纤维、斯坦伯格簇和抛物线赫森伯格簇。我们证明每个抛物线 Hessenberg 簇都是 Steinberg 簇在标志簇投影到适当的部分标志簇的情况下的回调，并且我们给出了该结果的三个应用。第一个应用程序以半标准画面的形式构建了李类型 A 中所有斯坦伯格变体的显式铺砌。结果，我们得到了斯坦伯格和下村定理的基本证明，即著名的科斯特卡数计算了斯坦伯格簇的最大维不可约分量。第二个应用证明了李类型 A 中某些抛物线 Hessenberg 簇的开放猜想，证明了它们的 Betti 数等于舒伯特簇的特定并集的贝蒂数。第三个应用证明抛物线 Hessenberg 簇的不可约分量与 Steinberg 簇的不可约分量是双射的。所有这三个应用都扩展了我们对本文核心的三个品种的几何理解，尽管经过四十多年的工作，即使对于施普林格品种，对这三个品种的全面理解也是未知的。
This paper studies the geometry and combinatorics of three interrelated varieties: Springer fibers, Steinberg varieties, and parabolic Hessenberg varieties. We prove that each parabolic Hessenberg variety is the pullback of a Steinberg variety under the projection of the flag variety to an appropriate partial flag variety and we give three applications of this result. The first application constructs an explicit paving of all Steinberg varieties in Lie type A in terms of semistandard tableaux. As a result, we obtain an elementary proof of a theorem of Steinberg and Shimomura that the well-known Kostka numbers count the maximal-dimensional irreducible components of Steinberg varieties. The second application proves an open conjecture for certain parabolic Hessenberg varieties in Lie type A by showing that their Betti numbers equal those of a specific union of Schubert varieties. The third application proves that the irreducible components of parabolic Hessenberg varieties are in bijection with the irreducible components of the Steinberg variety. All three of these applications extend our geometric understanding of the three varieties at the heart of this paper, a full understanding of which is unknown even for Springer varieties, despite over forty years’ worth of work.
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N. Shimomura
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Shrawan Kumar
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