Geometry of $\nu $-Tamari lattices in types $A$ and $B$
Geometry of $\nu $-Tamari lattices in types $A$ and $B$
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$ u $-Tamari 格子的几何形状 $A$ 和 $B$ 类型
DOI：
--
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发表时间：
2016
影响因子：
1.3
通讯作者：
Camilo Sarmiento
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Cesar Ceballos;Arnau Padrol;Camilo Sarmiento
在这篇文章中，我们利用单形乘积的三角剖分的组合学和几何，在$-Tamari格的Catalan组合学的背景下得到新的结果。在我们的框架中，“加泰罗尼亚对象”的主要角色是$(i，{J})$-树：与一对有限索引集$(i，{J})$相关联的二部树，这些有限索引集站在简单双射中，格路弱地位于格路$\nu=\nu(i，{J})$之上。这类树标记了三角剖分的极大简化，其对偶多面体复形给出了Pr‘evile-Ratelle和Viennot引入的$-Tamari格的几何实现.特别地，我们得到了$m$-Tamari格的几何实现，它是由热带超平面的排列引起的结合体的多面体细分，从而肯定地回答了F.
我们三角剖分背后的单纯复形赋予$\nu$-Tamari格子一个完全单纯复形结构。它是经典单纯结合面体的自然推广，替代了Armstrong，Rhodes和Williams的有理结合面体，后者的$h$向量项是通过Narayana数的适当推广而给出的。
我们的方法服从循环对称性，我们用它来表示我们的结构的$B$类似的类型。值得注意的是，我们定义了一个偏序，它推广了由Thomas和Reding独立引入的$B$Tamari格类型，以及相应的几何实现。
In this paper, we exploit the combinatorics and geometry of triangulations of products of simplices to derive new results in the context of Catalan combinatorics of $\nu$-Tamari lattices. In our framework, the main role of "Catalan objects" is played by $(I,\overline{J})$-trees: bipartite trees associated to a pair $(I,\overline{J})$ of finite index sets that stand in simple bijection with lattice paths weakly above a lattice path $\nu=\nu(I,\overline{J})$. Such trees label the maximal simplices of a triangulation whose dual polyhedral complex gives a geometric realization of the $\nu$-Tamari lattice introduced by Pr\'evile-Ratelle and Viennot. In particular, we obtain geometric realizations of $m$-Tamari lattices as polyhedral subdivisions of associahedra induced by an arrangement of tropical hyperplanes, giving a positive answer to an open question of F.~Bergeron.
The simplicial complex underlying our triangulation endows the $\nu$-Tamari lattice with a full simplicial complex structure. It is a natural generalization of the classical simplicial associahedron, alternative to the rational associahedron of Armstrong, Rhoades and Williams, whose $h$-vector entries are given by a suitable generalization of the Narayana numbers.
Our methods are amenable to cyclic symmetry, which we use to present type $B$ analogues of our constructions. Notably, we define a partial order that generalizes the type $B$ Tamari lattice, introduced independently by Thomas and Reading, along with corresponding geometric realizations.
Dyck 路径三角剖分和可扩展性
DOI：
10.1016/j.jcta.2014.10.009
发表时间：
2015
期刊：
J. Comb. Theory, Ser. A
影响因子：
--
作者：
Cesar Ceballos;Arnau Padrol;Camilo Sarmiento
通讯作者：
Camilo Sarmiento
DOI：
10.1017/fms.2017.1
发表时间：
2014-03
期刊：
Forum of Mathematics, Sigma
影响因子：
--
作者：
F. Santos;Christian Stump;V. Welker
通讯作者：
F. Santos;Christian Stump;V. Welker
影响因子：
1.1
作者：
Ceballos, Cesar;Santos, Francisco;Ziegler, Guenter M.
通讯作者：
Ziegler, Guenter M.