Higher Order Fréchet Derivatives of Matrix Functions and the Level-2 Condition Number
Higher Order Fréchet Derivatives of Matrix Functions and the Level-2 Condition Number
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矩阵函数的高阶 Fréchet 导数和 2 级条件数
DOI：
10.1137/130945259
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发表时间：
2014
影响因子：
1.5
通讯作者：
Higham N
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Higham N
矩阵函数的fr<s:1>导数控制着函数对矩阵中小扰动的灵敏度。虽然人们对它的性质和计算方法知道得很多，但对高阶fr<s:1>衍生物的关注却很少。我们给出了fr<s:1>切特导数存在的充分条件，并在它的辐角上连续，我们开发了计算该导数及其克罗内克形式的算法。我们分析了一个矩阵函数的第二级绝对条件数（“条件数的条件数”），并将其用二阶fr<s:1>切特导数进行了定界。对于正规矩阵和指数，我们证明了在2-范数中，一级和二级绝对条件数相等，相对条件数彼此在一个小的常数因子内。我们还得到了矩阵逆和任意非奇异矩阵的一级和二级绝对条件数之间的精确关系，以及包含对数和平方根的一类函数的厄米矩阵的较弱联系。最后，通过数值实验对一级条件数与二级条件数之间的关系进行了较为全面的研究。
The Fréchet derivativeof a matrix functioncontrols the sensitivity of the function to small perturbations in the matrix. While much is known about the properties ofand how to compute it, little attention has been given to higher order Fréchet derivatives. We derive sufficient conditions for theth Fréchet derivative to exist and be continuous in its arguments and we develop algorithms for computing theth derivative and its Kronecker form. We analyze the level-2 absolute condition number of a matrix function (``the condition number of the condition number'') and bound it in terms of the second Fréchet derivative. For normal matrices and the exponential we show that in the 2-norm the level-1 and level-2 absolute condition numbers are equal and that the relative condition numbers are within a small constant factor of each other. We also obtain an exact relationship between the level-1 and level-2 absolute condition numbers for the matrix inverse and arbitrary nonsingular matrices, as well as a weaker connection for Hermitian matrices for a class of functions that includes the logarithm and square root. Finally, the relation between the level-1 and level-2 condition numbers is investigated more generally through numerical experiments.
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