The separating variety for 2 × 2 matrix invariants
The separating variety for 2 × 2 matrix invariants
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2 × 2 矩阵不变量的分离变换
DOI：
10.1080/03081087.2022.2158300
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发表时间：
2023
影响因子：
1.1
通讯作者：
Elmer J
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Elmer J
设G是线性作用于向量空间（或更一般地说，仿射簇）的线性代数群，且令是不变多项式函数的相应代数。一个分离集是一个多项式的集合，它具有这样的性质：对于所有的多项式，如果存在分离与，则存在分离与。本文考虑G= GL ~ 2 ∈（C）在n元矩阵的向量空间上的同时共轭作用。最小生成集是众所周知的。在最近的工作中，Kaygorodov et al. [Kaygorodov I，洛帕廷A，Popov Y.分离不变量格式。线性代数应用2018;559：114-124。]证明了，对于所有的，是一个极小的分离集的包含，即没有真子集是一个分离集。这并不一定意味着在所有的分离集合中有最小的基数。我们的主要结果表明，任何分离集都有基数。特别地，对于，不存在大小为dim（C[M2 n]G）= 4 n −3的分离集。此外，确实有最小基数作为一个分离集，但对于可能存在一个更小的分离集比。我们表明，一个较小的分离集实际上存在的所有。我们还证明了SL 2 <$（C）× SL 2 <$（C）在上的左右作用的类似结果.
LetGbe a linear algebraic group acting linearly on a vector space (or more generally, an affine variety), and letbe the corresponding algebra of invariant polynomial functions. A separating setis a set of polynomials with the property that for all, if there existsseparatingand, then there existsseparatingand. In this article, we consider the action of G=GL2(C) on the-vector spaceofn-tuples ofmatrices by simultaneous conjugation. Minimal generating setsofare well known and. In recent work, Kaygorodov et al. [Kaygorodov I, Lopatin A, Popov Y. Separating invariants formatrices. Linear Algebra Appl. 2018;559:114-124.] showed that for all,is a minimal separating set by inclusion, i.e. that no proper subset ofis a separating set. This does not necessarily mean thathas minimum cardinality among all separating sets for. Our main result shows that any separating set forhas cardinality. In particular, there is no separating set of size dim(C[M2n]G)=4n−3 for. Further,has indeed minimum cardinality as a separating set, but forthere may exist a smaller separating set than. We show that a smaller separating set does in fact exist for all. We also prove similar results for the left–right action of SL2(C)×SL2(C) on.
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