MARKOV PROCESSES CONDITIONED ON THEIR LOCATION AT LARGE EXPONENTIAL TIMES.
MARKOV PROCESSES CONDITIONED ON THEIR LOCATION AT LARGE EXPONENTIAL TIMES.
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马尔可夫过程以其在大指数倍时的位置为条件。
DOI：
10.1016/j.spa.2018.05.013
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发表时间：
2019
影响因子：
1.4
通讯作者：
Evans SN
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Evans SN
假设（X t） t≥0是一个负漂移- μ的一维布朗运动。在一个独立的指数随机时间，我们有可能使这个过程处于状态0如果我们在指数时间终止这个有条件的过程结果过程是马尔可夫的。如果我们让随机时间的速率参数趋近于0，那么终止马尔可夫过程的极限演变为X被限定为达到0，之后它表现为X在最后一次访问0时被终止。同样地，极限过程具有被抑制的“bang-bang”布朗运动的动力学，当它为负时演变为具有正漂移+ μ的布朗运动，当它为正时演变为具有负漂移- μ的布朗运动，并且根据在0处花费的局部时间被抑制。这一结果的推广，对于在指数随机时间条件下处于某状态a的Borel右过程具有很大的普遍性，此时它被消灭。我们的证明包括理解与当地时间相关的坎贝尔测度，偏移理论的使用，以及对一般马尔可夫过程的“砰砰”构造的适当模拟的发展。作为例子，我们考虑了瞬态Borel右过程是一维扩散的特殊情况。通过其无穷小发生器表征极限条件和终止过程导致对瞬态一维扩散过程的h变换的研究，这超出了已知的范围，并且具有独立的兴趣。
Suppose that (X t) t≥ 0 is a one-dimensional Brownian motion with negative drift− μ. It is possible to make sense of conditioning this process to be in the state 0 at an independent exponential random time and if we kill the conditioned process at the exponential time the resulting process is Markov. If we let the rate parameter of the random time go to 0, then the limit of the killed Markov process evolves like X conditioned to hit 0, after which time it behaves as X killed at the last time X visits 0. Equivalently, the limit process has the dynamics of the killed “bang–bang” Brownian motion that evolves like Brownian motion with positive drift+ μ when it is negative, like Brownian motion with negative drift− μ when it is positive, and is killed according to the local time spent at 0. An extension of this result holds in great generality for a Borel right process conditioned to be in some state a at an exponential random time, at which time it is killed. Our proofs involve understanding the Campbell measures associated with local times, the use of excursion theory, and the development of a suitable analogue of the “bang–bang” construction for a general Markov process. As examples, we consider the special case when the transient Borel right process is a one-dimensional diffusion. Characterizing the limiting conditioned and killed process via its infinitesimal generator leads to an investigation of the h-transforms of transient one-dimensional diffusion processes that goes beyond what is known and is of independent interest.
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