Diophantine problems and p-adic period mappings
Diophantine problems and p-adic period mappings
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丢番图问题和p进周期映射
DOI：
10.1007/s00222-020-00966-7
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发表时间：
2020
影响因子：
3.1
通讯作者：
Venkatesh, Akshay
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Lawrence, Brian;Venkatesh, Akshay
我们给出法尔廷斯定理（莫德尔猜想）的另一种证明：数域上至少有两个的亏格曲线具有有限多个有理点。我们的论证利用了法尔廷斯原始证明的设置，但在精神上更接近 Chabauty 和 Kim 的方法：我们通过对代数簇中 p 进伽罗瓦表示的变体进行更详细的分析来取代阿贝尔簇的使用。该分析的关键输入是 p-adic Hodge 理论的比较定理和单向性的显式拓扑计算。通过相同的方法，我们表明，在足够大的维数和度数下，射影空间中的超曲面集合，在远离固定素数集合的情况下，包含在所有超曲面模空间的真扎里斯基闭子集中。这在本质上使用了 Bakker 和 Tsimerman 最近建立的周期映射的 Ax-Schanuel 属性。
We give an alternative proof of Faltings’s theorem (Mordell’s conjecture): a curve of genus at least two over a number field has finitely many rational points. Our argument utilizes the set-up of Faltings’s original proof, but is in spirit closer to the methods of Chabauty and Kim: we replace the use of abelian varieties by a more detailed analysis of the variation ofp-adic Galois representations in a family of algebraic varieties. The key inputs into this analysis are the comparison theorems ofp-adic Hodge theory, and explicit topological computations of monodromy. By the same methods we show that, in sufficiently large dimension and degree, the set of hypersurfaces in projective space, with good reduction away from a fixed set of primes, is contained in a proper Zariski-closed subset of the moduli space of all hypersurfaces. This uses in an essential way the Ax–Schanuel property for period mappings, recently established by Bakker and Tsimerman.
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DOI：
--
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