Ergodic decompositions of geometric measures on Anosov homogeneous spaces
Ergodic decompositions of geometric measures on Anosov homogeneous spaces
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Anosov 齐次空间上几何测度的遍历分解
DOI：
10.1007/s11856-023-2560-2
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发表时间：
2020
影响因子：
1
通讯作者：
H. Oh
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Minju M. Lee;H. Oh
设$G$是一个连通的半单真实的代数群，$\Gamma$是$G$的一个Zebraki稠密Anosov子群.设$N$是$G$的极大次球面子群，$P$是$N$的正规化子，且具有固定的Langlands分解$P=MAN$。本文证明了对$\Gamma\反斜杠G$上的任意非平凡的$NM$-不变遍历和$P$-拟不变测度$\mu$，$\mu=\sum_{\cal{E}_0\in \mathfrak Y_\Gamma} \mu|_{\cal{E}_0}$描述了$N$-遍历分解，其中$\mathfrak Y_\Gamma$表示$\Gamma\反斜杠G$的所有$P^\circ$-极小子集的集合。作为结果，我们推导出所有非平凡的$N$-不变遍历和$P^\circ$-拟不变Radon测度的空间，直到正常数倍，同胚于${\mathbb R}^{\text{rank}\，G-1}\times \{1，\cdots，\#\mathfrak Y_\Gamma\}$。
Let $G$ be a connected semisimple real algebraic group and $\Gamma$ a Zariski dense Anosov subgroup of $G$. Let $N$ be a maximal horospherical subgroup of $G$ and $P$ the normalizer of $N$ with a fixed Langlands decomposition $P=MAN$. We prove that for any non-trivial $NM$-invariant ergodic and $P$-quasi invariant measure $\mu$ on $\Gamma\backslash G$, $\mu=\sum_{\cal{E}_0\in \mathfrak Y_\Gamma} \mu|_{\cal{E}_0}$ describes the $N$-ergodic decomposition, where $\mathfrak Y_\Gamma$ denotes the collection of all $P^\circ$-minimal subsets of $\Gamma\backslash G$. As a consequence, we deduce that the space of all non-trivial $N$-invariant ergodic and $P^\circ$-quasi-invariant Radon measures on $\Gamma\backslash G$, up to positive constant multiples, is homeomorphic to ${\mathbb R}^{\text{rank}\,G-1}\times \{1,\cdots, \#\mathfrak Y_\Gamma\}$.
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