On a problem of countable expansions
On a problem of countable expansions
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关于可数展开式问题
DOI：
10.1016/j.jnt.2015.06.017
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发表时间：
2015-03
影响因子：
0.7
通讯作者：
Derong Kong
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Yuru Zou;Derong Kong
对于一个真实的数q∈（1，2），x∈[0，1/（q− 1）]，如果x=∑ i= 1∞ di q i，di ∈{0，1}对所有i≥ 1，则称无限序列（di）是x的q-展开。对于m= 1，2，n或n = 0，我们用B m表示q∈（1，2）的集合，使得存在x∈[0，1/（q− 1）]，其具有恰好m个不同的q-展开式。Sidorov [18]证明了q2：= min <$B2 <$1.71064，后来Baker [1]问q2是否∈ B <$0？本文对这个问题给出了否定的回答，并得出结论：B 0不是闭集。特别地，我们给出了x∈[0，1/（q 2− 1）]恰好有两个不同的q 2-展开式的完整描述。
For a real number q∈(1, 2) and x∈[0, 1/(q− 1)], the infinite sequence (d i) is called a q-expansion of x if x=∑ i= 1∞ d i q i, d i∈{0, 1} for all i≥ 1. For m= 1, 2,⋯ or ℵ 0 we denote by B m the set of q∈(1, 2) such that there exists x∈[0, 1/(q− 1)] having exactly m different q-expansions. It was shown by Sidorov [18] that q 2:= min B 2≈ 1.71064, and later asked by Baker [1] whether q 2∈ B ℵ 0? In this paper we provide a negative answer to this question and conclude that B ℵ 0 is not a closed set. In particular, we give a complete description of x∈[0, 1/(q 2− 1)] having exactly two different q 2-expansions.
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