The separating variety for matrix semi-invariants
The separating variety for matrix semi-invariants
复制标题
矩阵半不变量的分离变换
DOI：
10.1016/j.laa.2023.06.012
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发表时间：
2023
影响因子：
1.1
通讯作者：
Elmer J
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Elmer J
令 G 为线性作用于向量空间（或更一般地，仿射簇）V 的线性代数群，并令 k [V] G 为不变多项式函数的相应代数。分离集 S⊆ k [V] G 是一组多项式，其性质是对于所有 v，w ∈ V，如果存在分离 v 和 w 的 f ∈ k [V] G，则存在分离 v 和 w 的 f ∈ S。在本文中，我们通过左乘和右乘来考虑 G= SL 2 (C)× SL 2 (C) 在 2× 2 矩阵的 n 元组的 C 向量空间 M 2, 2 n 上的作用。 C [M 2, 2 n] G 的最小发电机组 S n 已知，并且| S n|= 1 24 (n 4− 6 n 3+ 23 n 2+ 6 n)。在最近的工作中，Domokos [8] 表明，对于所有 n≥ 1，S n 是包含的最小分离集，即 S n 的真子集不是分离集。这并不一定意味着 S n 在 C [M 2, 2 n] G 的所有分离集中具有最小基数。我们的主要结果表明，C [M 2, 2 n] G 的任何分离集的基数≥ 5 n− 9。特别是，对于 n≥ 4，不存在大小为 dim(C [M 2 n] G)= 4 n− 6 的分离集。此外，S 4 确实具有作为分离集的最小基数，但对于n≥ 5 可能存在比S n 更小的分离集。我们还通过左乘来考虑 G= SL l (C) 对 M l, n 的作用。在这种情况下，不变量代数的最小生成集的大小为 (n l)（一般矩阵的 l× l 次数），维度为 l n− l 2+ 1。我们证明 C [M l, n] G 的分离集的大小必须至少为 (2 l− 2) n− 2 (l 2− l)。特别是，对于 l≥ 3 和 n≥ l+ 2，C [M l, n] G 不包含大小为 dim(C [M l, n] G) 的分离集。我们根据颤动的表示对我们的结果进行了解释，并做出了概括 Skowronski-Weyman 定理的猜想。
Let G be a linear algebraic group acting linearly on a vector space (or more generally, an affine variety) V, and let k [V] G be the corresponding algebra of invariant polynomial functions. A separating set S⊆ k [V] G is a set of polynomials with the property that for all v, w∈ V, if there exists f∈ k [V] G separating v and w, then there exists f∈ S separating v and w. In this article we consider the action of G= SL 2 (C)× SL 2 (C) on the C-vector space M 2, 2 n of n-tuples of 2× 2 matrices by multiplication on the left and the right. Minimal generating sets S n of C [M 2, 2 n] G are known, and| S n|= 1 24 (n 4− 6 n 3+ 23 n 2+ 6 n). In recent work, Domokos [8] showed that for all n≥ 1, S n is a minimal separating set by inclusion, ie that no proper subset of S n is a separating set. This does not necessarily mean that S n has minimum cardinality among all separating sets for C [M 2, 2 n] G. Our main result shows that any separating set for C [M 2, 2 n] G has cardinality≥ 5 n− 9. In particular, there is no separating set of size dim(C [M 2 n] G)= 4 n− 6 for n≥ 4. Further, S 4 has indeed minimum cardinality as a separating set, but for n≥ 5 there may exist a smaller separating set than S n. We also consider the action of G= SL l (C) on M l, n by left multiplication. In that case the algebra of invariants has a minimum generating set of size (n l)(the l× l minors of a generic matrix) and dimension l n− l 2+ 1. We show that a separating set for C [M l, n] G must have size at least (2 l− 2) n− 2 (l 2− l). In particular, C [M l, n] G does not contain a separating set of size dim(C [M l, n] G) for l≥ 3 and n≥ l+ 2. We include an interpretation of our results in terms of representations of quivers, and make a conjecture generalising the Skowronski-Weyman theorem.
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