Size of the zero set of solutions of elliptic PDEs near the boundary of Lipschitz domains with small Lipschitz constant
Size of the zero set of solutions of elliptic PDEs near the boundary of Lipschitz domains with small Lipschitz constant
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具有小 Lipschitz 常数的 Lipschitz 域边界附近的椭圆偏微分方程零解集的大小
DOI：
--
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发表时间：
2022
影响因子：
2.1
通讯作者：
J. M. Gallegos
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. M. Gallegos
令 $$Omega 子集 {mathbb {R}}^d$$ Ω ⊂ R d 为 $$C^1$$ C 1 域，或更一般地，具有小 Lipschitz 常数的 Lipschitz 域，A ( x ) 为 $$d imes d$$ d × d 具有 Lipschitz 系数的均匀椭圆对称矩阵。假设 u 是 $$Omega $$ Ω 的谐波，或者更普遍地 u 求解 $${ ext {div}}(A(x)
abla u)=0$$ div ( A ( x ) ∇ u ) = 0 in $$Omega $$ Ω ，并且对于某个球 B ， u 在 $$Sigma = 部分 Omega 上限 B$$ Σ = ∂ Ω ∩ B 上消失。我们研究 $$Sigma $$ Σ 中 u 的奇异集合的维数，特别是我们证明存在一个可数的开球族 $$(B_i)_i$$ ( B i ) i 使得 $$u|_{B_i cap Omega }$$ u | Bi ∩ Ω 不改变符号，并且 $$K ackslash igcup _i B_i$$ K ⋃ i B i 对于任何紧凑的 $$K 子集 Sigma $$ K ⊂ Σ 的明可夫斯基维数都小于 $$d-1-epsilon $$ d - 1 - ϵ 。我们还根据频率找到与 $$Sigma $$ Σ 相交的球中 u 的零集的 $$(d-1)$$ ( d - 1 ) 维 Hausdorff 测度的上限。因此，我们在此类函数的边界上证明了一个新的唯一连续原理，并表明 $$Sigma $$ Σ 的所有点上的消失顺序都是有界的，除了一组最多 $$d-1-epsilon $$ d - 1 - ϵ 的 Hausdorff 维数集。
Let $$Omega subset {mathbb {R}}^d$$ Ω ⊂ R d be a $$C^1$$ C 1 domain or, more generally, a Lipschitz domain with small Lipschitz constant and A ( x ) be a $$d imes d$$ d × d uniformly elliptic, symmetric matrix with Lipschitz coefficients. Assume u is harmonic in $$Omega $$ Ω , or with greater generality u solves $${ ext {div}}(A(x)
abla u)=0$$ div ( A ( x ) ∇ u ) = 0 in $$Omega $$ Ω , and u vanishes on $$Sigma = partial Omega cap B$$ Σ = ∂ Ω ∩ B for some ball B . We study the dimension of the singular set of u in $$Sigma $$ Σ , in particular we show that there is a countable family of open balls $$(B_i)_i$$ ( B i ) i such that $$u|_{B_i cap Omega }$$ u | B i ∩ Ω does not change sign and $$K ackslash igcup _i B_i$$ K ⋃ i B i has Minkowski dimension smaller than $$d-1-epsilon $$ d - 1 - ϵ for any compact $$K subset Sigma $$ K ⊂ Σ . We also find upper bounds for the $$(d-1)$$ ( d - 1 ) -dimensional Hausdorff measure of the zero set of u in balls intersecting $$Sigma $$ Σ in terms of the frequency. As a consequence, we prove a new unique continuation principle at the boundary for this class of functions and show that the order of vanishing at all points of $$Sigma $$ Σ is bounded except for a set of Hausdorff dimension at most $$d-1-epsilon $$ d - 1 - ϵ .
狄利克雷拉普拉斯本征函数节点集面积的尖锐上限
影响因子：
2.2
作者：
Logunov, A.;Malinnikova, E.;Nadirashvili, N.;Nazarov, F.
通讯作者：
Nazarov, F.
Dini 域边界附近调和函数的展开
DOI：
10.4171/rmi/1380
发表时间：
2022
期刊：
Revista Matemática Iberoamericana
影响因子：
--
作者：
Kenig, Carlos;Zhao, Zihui
通讯作者：
Zhao, Zihui
$$C^1$$-Dini域上的边界唯一延拓和奇异集的大小
影响因子：
2.5
作者：
Kenig, Carlos;Zhao, Zihui
通讯作者：
Zhao, Zihui