Factorization for Hardy spaces and characterization for BMO spaces via commutators in the Bessel setting
Factorization for Hardy spaces and characterization for BMO spaces via commutators in the Bessel setting
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通过贝塞尔设置中的换向器对 Hardy 空间进行因式分解并表征 BMO 空间
DOI：
10.1512/iumj.2017.66.6115
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发表时间：
2015-08
影响因子：
1.1
通讯作者：
Dongyong Yang
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Xuan Thinh Duong;Ji Li;Brett D. Wick;Dongyong Yang
修复$\lambda>；0$。考虑Coifman和Weiss意义下的Hardy空间$H^1(\mathbb{R}_+，dm_\lambda)$，其中$\mathbb{R_+}：=(0，\infty)$和$dm_\lambda：=x^{2\lambda}dx$，其中$dx=勒贝格测度。还要考虑贝塞尔运算符$\Delta_\lambda：=-\frac{d^2}{dx^2}-\frac{2\lambda}{x}\frac d{dx}$和$\mathbb{R_+}$上的$S_\lambda：=-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{\lambda^2-\lambda}{x^2}$。分别通过Riesz变换$R_{\Delta_\lambda}：=\Partial_x(\Delta_\lambda)^{-1/2}$和$R_{S_\lambda}：=x^\lambda_(S_\lambda)^{-1/2}$定义了与$\Delta_\lambda$和$H^1_{{S_\lambda}$关联的Hardy空间$H^1_{{Delta_\lambda}$和$H^1_{{S_\lambda}(S_\lambda})^{-1/2}$。已知$H^1_{\Delta_\lambda}$和$H^1(\mathbb{R}_+，dm_\lambda)$重合，但它们与$H^1_{S_\lambda}$不同。本文证明了：(A)利用Riesz变换$R_{\Delta_\lambda}$的双线性形式，证明了$H^1(\mathbb{R}_+，dm_\lambda)$的弱因式分解，这意味着通过与$R_{\Delta_\lambda}$有关的交换子刻画了与$\Delta_\lambda$相关的BMO空间；(B)与$S相关的BMO空间不能用与$R_{S_\λ}$有关的交换子刻画，这意味着$H^1_{S_\λ}$通过Riesz变换的双线性形式$R_{S_\λ}$不具有弱因子分解。
Fix $\lambda>0$. Consider the Hardy space $H^1(\mathbb{R}_+,dm_\lambda)$ in the sense of Coifman and Weiss, where $\mathbb{R_+}:=(0,\infty)$ and $dm_\lambda:=x^{2\lambda}dx$ with $dx$ the Lebesgue measure. Also consider the Bessel operators $\Delta_\lambda:=-\frac{d^2}{dx^2}-\frac{2\lambda}{x} \frac d{dx}$, and $S_\lambda:=-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{\lambda^2-\lambda}{x^2}$ on $\mathbb{R_+}$. The Hardy spaces $H^1_{\Delta_\lambda}$ and $H^1_{S_\lambda}$ associated with $\Delta_\lambda$ and $S_\lambda$ are defined via the Riesz transforms $R_{\Delta_\lambda}:=\partial_x (\Delta_\lambda)^{-1/2}$ and $R_{S_\lambda}:= x^\lambda\partial_x x^{-\lambda} (S_\lambda)^{-1/2}$, respectively. It is known that $H^1_{\Delta_\lambda}$ and $H^1(\mathbb{R}_+,dm_\lambda)$ coincide but they are different from $H^1_{S_\lambda}$. In this article, we prove the following: (a) a weak factorization of $H^1(\mathbb{R}_+,dm_\lambda)$ by using a bilinear form of the Riesz transform $R_{\Delta_\lambda}$, which implies the characterization of the BMO space associated to $\Delta_\lambda$ via the commutators related to $R_{\Delta_\lambda}$; (b) the BMO space associated to $S_\lambda$ can not be characterized by commutators related to $R_{S_\lambda}$, which implies that $H^1_{S_\lambda}$ does not have a weak factorization via a bilinear form of the Riesz transform $R_{S_\lambda}$.
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DOI：
10.1090/s0002-9947-1948-0025023-x
发表时间：
1948-02
影响因子：
1.3
作者：
A. Weinstein
通讯作者：
A. Weinstein
DOI：
10.1090/s0002-9904-1977-14325-5
发表时间：
1977-01-01
影响因子：
1.3
作者：
COIFMAN, RR;WEISS, G
通讯作者：
WEISS, G
DOI：
10.4153/cjm-1978-012-4
发表时间：
1978-02
期刊：
Canadian Journal of Mathematics
影响因子：
--
作者：
R. Kerman
通讯作者：
R. Kerman
影响因子：
3.7
作者：
E. Stein;G. Weiss
通讯作者：
E. Stein;G. Weiss
影响因子：
0.8
作者：
K. F. Andersen;R. Kerman
通讯作者：
K. F. Andersen;R. Kerman