On the Bi-Lipschitz Geometry of Lamplighter Graphs
On the Bi-Lipschitz Geometry of Lamplighter Graphs
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关于点灯者图的 Bi-Lipschitz 几何
DOI：
10.1007/s00454-020-00184-1
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发表时间：
2020
影响因子：
0.8
通讯作者：
Zsák, A.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Baudier, F.;Motakis, P.;Schlumprecht, Th.;Zsák, A.
本文系统地研究了点灯图的双Lipschitz几何。我们证明了树上的点灯图是双Lipschitzy嵌入到汉明立方体中的，失真最多为6。由此得出可数树上的点灯图是双Lipschitzly嵌入的。研究了两个图的顶点合并上取点灯图的操作的度量行为。在此基础上，我们给出了星星图或玫瑰图上的点灯图的超自反性的度量刻画。最后，我们证明了图中团的存在意味着其上的点灯图中Hamming立方体的存在，并应用于任意度量空间中的平凡Bourgain-Milman-Wolfson型的刻画，类似于Ostrovskii（C. R. Acad. 64（6），775-784（2011））。
In this article we start a systematic study of the bi-Lipschitz geometry of lamplighter graphs. We prove that lamplighter graphs over trees bi-Lipschitzly embed into Hamming cubes with distortion at most 6. It follows that lamplighter graphs over countable trees bi-Lipschitzly embed into. We study the metric behaviour of the operation of taking the lamplighter graph over the vertex-coalescence of two graphs. Based on this analysis, we provide metric characterisations of superreflexivity in terms of lamplighter graphs over star graphs or rose graphs. Finally, we show that the presence of a clique in a graph implies the presence of a Hamming cube in the lamplighter graph over it. An application is a characterisation, in terms of a sequence of graphs with uniformly bounded degree, of the notion of trivial Bourgain–Milman–Wolfson type for arbitrary metric spaces, similar to Ostrovskii’s characterisation previously obtained in Ostrovskii (C. R. Acad. Bulgare Sci.64(6), 775–784 (2011)).
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A. Donno
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M. Mendel;A. Naor