Almost regular Poisson manifolds and their holonomy groupoids
Almost regular Poisson manifolds and their holonomy groupoids
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几乎正则泊松流形及其完整群群
DOI：
10.1007/s00029-017-0319-5
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
M. Zambon
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
I. Androulidakis;M. Zambon
我们期待在泊松几何的奇异叶理的观点，理解为适当的子模块所产生的哈密顿向量场，而不是分区成（辛）叶。从这个角度来看，表现最好的泊松结构类是那些由Hamilton向量场生成的子模来自光滑完整广群的泊松结构。我们称之为几乎正则泊松结构，并完全确定它们。它们包括正则泊松和对数辛流形，以及其他几个泊松结构，其辛叶理呈现奇点。我们证明了与几乎正则泊松结构相关联的完整广群是一个泊松广群，它整合了一个自然关联的李双代数胚。完整广群上的泊松结构是正则的，因此它提供了一个去奇异化。完整群胚是李群胚中的“最小”群胚，它产生了由汉密尔顿向量场生成的子模。这意味着，在对数辛流形的情况下，完整群胚与瓜尔蒂耶里和李构造的辛群胚重合。最后，我们讨论了几乎正则Poisson流形的可积性，并展示了完整群胚的源纤维的第二同伦群的作用。
We look at Poisson geometry taking the viewpoint of singular foliations, understood as suitable submodules generated by Hamiltonian vector fields rather than partitions into (symplectic) leaves. The class of Poisson structures which behave best from this point of view, are those whose submodule generated by Hamiltonian vector fields arises from asmoothholonomy groupoid. We call themalmost regular Poisson structuresand determine them completely. They include regular Poisson and log symplectic manifolds, as well as several other Poisson structures whose symplectic foliation presents singularities. We show that the holonomy groupoid associated with an almost regular Poisson structure is a Poisson groupoid, integrating a naturally associated Lie bialgebroid. The Poisson structure on the holonomy groupoid is regular, and as such it provides a desingularization. The holonomy groupoid is “minimal” among Lie groupoids which give rise to the submodule generated by Hamiltonian vector fields. This implies that, in the case of log-symplectic manifolds, the holonomy groupoid coincides with the symplectic groupoid constructed by Gualtieri and Li. Last, we focus on the integrability of almost regular Poisson manifolds and exhibit the role of the second homotopy group of the source-fibers of the holonomy groupoid.
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