Noncommutative Polynomials Describing Convex Sets
Noncommutative Polynomials Describing Convex Sets
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描述凸集的非交换多项式
DOI：
10.1007/s10208-020-09465-w
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发表时间：
2021
影响因子：
3
通讯作者：
Volčič, Jurij
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Helton, J. William;Klep, Igor;McCullough, Scott;Volčič, Jurij
由厄米非交换多项式确定的自由闭半代数集是包含原点的连通分量的闭集。当它是厄米子线性铅笔时，其自由闭半代数集是线性矩阵不等式的可行集，称为自由谱面体。显然，它们是凸的，众所周知，一个自由闭半代数集是凸的，当且仅当它是一个自由的谱面体。本文的主要结果解决了确定凸点的基本问题。该解决方案导致一个有效的算法，不仅确定它是凸的，而且如果是凸的，产生一个最小的厄米子铅笔，这样。独立感兴趣的是一个基于Nichtsingulärstellensatz的子算法：给定一个线性铅笔和一个厄米子铅笔，它确定它在的内部取可逆值。最后，证明了对于一个不可约厄密矩阵，它是凸的，那么它的次数最多为2，并且它是一个不可约厄密矩阵的舒尔补。
The free closed semialgebraic setdetermined by a hermitian noncommutative polynomialis the closure of the connected component ofcontaining the origin. WhenLis a hermitian monic linear pencil, the free closed semialgebraic setis the feasible set of the linear matrix inequalityand is known as a free spectrahedron. Evidently these are convex and it is well known that a free closed semialgebraic set is convex if and only it is a free spectrahedron. The main result of this paper solves the basic problem of determining thoseffor whichis convex. The solution leads to an efficient algorithm that not only determines ifis convex, but if so, produces a minimal hermitian monic pencilLsuch that. Of independent interest is a subalgorithm based on a Nichtsingulärstellensatz presented here: given a linear penciland a hermitian monic pencilL, it determines iftakes invertible values on the interior of. Finally, it is shown that ifis convex for an irreducible hermitian, thenfhas degree at most two, and arises as the Schur complement of anLsuch that.
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