Purely unrectifiable metric spaces and perturbations of Lipschitz functions
Purely unrectifiable metric spaces and perturbations of Lipschitz functions
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纯粹不可校正的度量空间和 Lipschitz 函数的扰动
作者：
David Bate
我们通过研究所有有界 1-Lipschitz 函数 $fcolon X o mathbb R^m$ 的集合的元素相对于最高范数的任意小扰动，来表征具有有限 Hausdorff $n$ 测量的完全度量空间 $X$ 的纯粹 $n$-不可校正子集 $S$。在一个这样的表征中，表明，如果 $S$ 几乎到处都具有正的较低密度，则所有具有 $mathcal H^n(f(S))=0$ 的 $f$ 的集合是残差。相反，如果 $Esubset X$ 是 $n$ 可校正且 $mathcal H^n(E)>0$，则所有 $f$ 且 $mathcal H^n(f(E))>0$ 的集合是残差。
这些结果为任意度量空间中的贝西科维奇-费德勒投影定理提供了替代，该定理在欧几里得空间之外是错误的。
We characterise purely $n$-unrectifiable subsets $S$ of a complete metric space $X$ with finite Hausdorff $n$-measure by studying arbitrarily small perturbations of elements of the set of all bounded 1-Lipschitz functions $fcolon X o mathbb R^m$ with respect to the supremum norm. In one such characterisation it is shown that, if $S$ has positive lower density almost everywhere, then the set of all $f$ with $mathcal H^n(f(S))=0$ is residual. Conversely, if $Esubset X$ is $n$-rectifiable with $mathcal H^n(E)>0$, the set of all $f$ with $mathcal H^n(f(E))>0$ is residual.
These results provide a replacement for the Besicovitch-Federer projection theorem in arbitrary metric spaces, which is known to be false outside of Euclidean spaces.
关于拓扑维数、豪斯多夫测度和可修正性的注释
影响因子：
1
作者：
David, Guy C.;Le Donne, Enrico
通讯作者：
Le Donne, Enrico