Stability of receding traveling waves for a fourth order degenerate parabolic free boundary problem
Stability of receding traveling waves for a fourth order degenerate parabolic free boundary problem
复制标题
四阶简并抛物线自由边界问题的后退行波稳定性
DOI：
10.1016/j.aim.2019.01.028
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发表时间：
2019
影响因子：
1.7
通讯作者：
N. Masmoudi
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
M. V. Gnann;S. Ibrahim;N. Masmoudi
考虑薄膜方程h t+(h h y y y) y= 0，在自由边界处，即在液、气、固三相交界处，接触角为零。先前关于该方程的稳定性和适定性的结果主要集中在平衡平稳或自相似剖面的扰动上，后者最终润湿整个表面。这些解与二阶多孔介质方程h t - (h m) y y= 0有对应关系，其中m >1是一个自由参数。多孔介质方程和薄膜方程都简并为h + 0，但多孔介质方程还满足比较原理，而薄膜方程则不满足。在本文中，我们考虑当x≥0时，行波h= v6 x 3+ ν x 2，其中x= y - V t和V， ν≥0是自由参数。这些行波是后退的，因此描述了脱湿，这是一种与薄膜方程的四阶性质真正相关的现象，而在多孔介质情况下不会遇到，因为它违反了比较原则。通过线性稳定性分析，得到了一个线性四阶退化抛物算子，我们证明了在接触线x= 0的右邻域中x展开的任意阶的极大正则性估计。由此得到相应的非线性方程的适定性和稳定性结果。由于线性化演化在x + 0和x→∞时具有不同的尺度，因此分析比以往的相关工作更加复杂。我们预计，我们的方法是研究违反比较原则的其他情况的自然步骤，例如液滴破裂。
Consider the thin-film equation h t+(h h y y y) y= 0 with a zero contact angle at the free boundary, that is, at the triple junction where liquid, gas, and solid meet. Previous results on stability and well-posedness of this equation have focused on perturbations of equilibrium-stationary or self-similar profiles, the latter eventually wetting the whole surface. These solutions have their counterparts for the second-order porous-medium equation h t−(h m) y y= 0, where m> 1 is a free parameter. Both porous-medium and thin-film equation degenerate as h↘ 0, but the porous-medium equation additionally fulfills a comparison principle while the thin-film equation does not. In this note, we consider traveling waves h= V 6 x 3+ ν x 2 for x≥ 0, where x= y− V t and V, ν≥ 0 are free parameters. These traveling waves are receding and therefore describe de-wetting, a phenomenon genuinely linked to the fourth-order nature of the thin-film equation and not encountered in the porous-medium case as it violates the comparison principle. The linear stability analysis leads to a linear fourth-order degenerate-parabolic operator for which we prove maximal-regularity estimates to arbitrary orders of the expansion in x in a right-neighborhood of the contact line x= 0. This leads to a well-posedness and stability result for the corresponding nonlinear equation. As the linearized evolution has different scaling as x↘ 0 and x→∞, the analysis is more intricate than in related previous works. We anticipate that our approach is a natural step towards investigating other situations in which the comparison principle is violated, such as droplet rupture.
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