On constructions and properties of (n, m)-functions with maximal number of bent components
On constructions and properties of (n, m)-functions with maximal number of bent components
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具有最大弯曲分量数的(n,m)函数的结构和性质
DOI：
10.1007/s10623-020-00770-7
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发表时间：
2019-05
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
罗娟
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
郑立景;彭杰;阚海斌;李彦君;罗娟
对于任何正整数 n=2k\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$n=2k$$\end{document} 和 m 使得 m≥k,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$m\ge k,$$\end{document} 在本文中，我们证明任何 (n, m) 函数的弯曲分量的最大数量等于 2m-2m-k,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$2^{m}-2^{m-k},$$\end{document} 对于那些获得相等的，他们的代数次数最多为 k。很容易看出，所有 (n, m) 形式的函数 G(x)=(F(x),0),\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$G(x)=(F(x),0),$$\end{document} 其中 F(x) 是任何矢量弯曲 (n, k) 函数，具有最大数量的弯曲分量。这些简单的函数 G 在本文中被称为平凡函数。我们证明，对于幂 (n, n) 函数，当且仅当它是微不足道的时，它具有最大数量的弯曲分量。我们还考虑形式为 F(x)=xh(Tren(x)),\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} 的 (n, n) 函数\setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$F(x)=xh(\mathrm{Tr}^{n}_{e}(x)),$$\end{document} 其中 h:F2e→F2e,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$h: \mathbb {F}_{2^{e}} \rightarrow \mathbb {F}_{2^{e}},$$\end{document} 并证明 F 具有最大数量的弯曲分量当且仅当e=k,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$e=k,$$\end{document} 且 h 是 a F2e 上的排列。\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_{2^{e}}.$$\end{document} 它本质上表明，所有先前已知的具有最大数量弯曲分量的非平凡函数都是 F 描述的类的子类。基于 Maiorana-McFarland 类，我们针对任何整数 m 以二元表示形式提出了大量具有最大数量弯曲分量的 (n, m)-函数的构造。我们还确定了构造函数的微分谱和沃尔什谱。事实证明，我们的构造还可以提供新的稳定矢量函数。
For any positive integers n=2k\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$n=2k$$\end{document} and m such that m≥k,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$m\ge k,$$\end{document} in this paper we show that the maximal number of bent components of any (n, m)-function is equal to 2m-2m-k,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$2^{m}-2^{m-k},$$\end{document} and for those attaining the equality, their algebraic degree is at most k. It is easily seen that all (n, m)-functions of the form G(x)=(F(x),0),\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$G(x)=(F(x),0),$$\end{document} with F(x) being any vectorial bent (n, k)-function, have the maximal number of bent components. Those simple functions G are called trivial in this paper. We show that for a power (n, n)-function, it has the maximal number of bent components if and only if it is trivial. We also consider the (n, n)-function of the form F(x)=xh(Tren(x)),\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$F(x)=xh(\mathrm{Tr}^{n}_{e}(x)),$$\end{document} where h:F2e→F2e,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$h: \mathbb {F}_{2^{e}} \rightarrow \mathbb {F}_{2^{e}},$$\end{document} and show that F has the maximal number of bent components if and only if e=k,\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$e=k,$$\end{document} and h is a permutation over F2e.\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\mathbb {F}_{2^{e}}.$$\end{document} It essentially shows that all previously known nontrivial functions with maximal number of bent components are subclasses of the class described by F. Based on the Maiorana–McFarland class, we present constructions of large numbers of (n, m)-functions with maximal number of bent components for any integer m in bivariate representation. We also determine the differential spectra and Walsh spectra of the constructed functions. It turns out that our constructions can also provide new plateaued vectorial functions.
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影响因子：
2.5
作者：
T. Helleseth;L. Hu;A. Kholosha;Xiangyong Zeng;Nian Li;Wenfeng Jiang
通讯作者：
T. Helleseth;L. Hu;A. Kholosha;Xiangyong Zeng;Nian Li;Wenfeng Jiang
DOI：
10.1007/3-540-31703-1_3
发表时间：
2018-10
期刊：
Series and Products in the Development of Mathematics
影响因子：
--
作者：
J. Gallian
通讯作者：
J. Gallian
DOI：
10.1007/3-540-46416-6_32
发表时间：
1991-04
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
K. Nyberg
通讯作者：
K. Nyberg
DOI：
10.1017/cbo9780511780448.011
发表时间：
2010-06
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
C. Carlet;Y. Crama;Peter L. Hammer
通讯作者：
C. Carlet;Y. Crama;Peter L. Hammer
DOI：
10.1016/s0021-9800(66)80007-8
发表时间：
1966-06
期刊：
Journal of Combinatorial Theory, Series A
影响因子：
--
作者：
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通讯作者：
R. C. Bose;R. Burton