Geometric inequalities involving mean curvature for closed surfaces
Geometric inequalities involving mean curvature for closed surfaces
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涉及闭合曲面平均曲率的几何不等式
DOI：
10.1007/s00029-021-00696-5
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发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Miura Tatsuya
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Masahiro Ikeda;Tomoyuki Tanaka and Kyohei Wakasa;Miura Tatsuya
本文证明了欧氏三维空间中闭曲面的几个几何不等式。受凸曲线的Gage不等式的启发，我们首先证明了凸曲面的Willmore能量是由一些尺度不变量限制的。特别地，在凸性条件下，我们得到了Willmore能量与等周比之间的一个最优标度律。此外，我们解决Topping的猜想有关的直径和平均曲率的连接封闭的表面。我们证明了这一猜想的类简单连接的轴对称曲面，而且得到一个尖锐的剩余项，确保了第一个证据，最佳形状必须是直的，即使没有凸性。
In this paper we prove some geometric inequalities for closed surfaces in Euclidean three-space. Motivated by Gage’s inequality for convex curves, we first verify that for convex surfaces the Willmore energy is bounded below by some scale-invariant quantities. In particular, we obtain an optimal scaling law between the Willmore energy and the isoperimetric ratio under convexity. In addition, we address Topping’s conjecture relating diameter and mean curvature for connected closed surfaces. We prove this conjecture in the class of simply-connected axisymmetric surfaces, and moreover obtain a sharp remainder term which ensures the first evidence that optimal shapes are necessarily straight even without convexity.
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