Spectral decompositions and nonnormality of boundary integral operators in acoustic scattering
Spectral decompositions and nonnormality of boundary integral operators in acoustic scattering
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声散射中边界积分算子的谱分解和非正态性
DOI：
10.1093/imanum/drt002
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发表时间：
2013
影响因子：
2.1
通讯作者：
Betcke T
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Betcke T
理解声散射中边界积分算子的频谱特性具有重要的实际意义，例如分析边界元离散化的稳定性或迭代解算器随波数k增长的收敛性。然而，对于声散射中标准边界积分算子的光谱分解，我们所知甚少。理论结果主要是在单位圆上得到的，其中这些算子在简单的傅立叶基上对角化。本文研究了更一般光滑域的谱分解。在椭圆坐标下声学格林函数分解的基础上，给出了椭圆上的光谱分解。对于一般光滑域，我们证明了近似的光谱分解可以用移植到域边界上的圆傅立叶模来给出。一个重要的潜在问题是操作人员是否正常。根据以往的数值研究，标准边界积分算子似乎只有在球域时才正常，这里我们证明了声学单层势的情况确实如此。我们证明了声学单层、双层和共轭双层电位在椭圆上的标度内积中是法向的。在更一般的光滑域上，算子可以分解为一个正规分量加一个光滑摄动。给出了伪谱在一般域上的非正态行为的数值计算。
Understanding the spectral properties of boundary integral operators in acoustic scattering has important practical implications, such as for the analysis of the stability of boundary element discretizations or the convergence of iterative solvers as the wave number k grows. Yet, little is known about spectral decompositions of the standard boundary integral operators in acoustic scattering. Theoretical results are mainly available on the unit circle, where these operators diagonalize in a simple Fourier basis. In this paper we investigate spectral decompositions for more general smooth domains. Based on the decomposition of the acoustic Green's function in elliptic coordinates, we give spectral decompositions on ellipses. For general smooth domains we show that approximate spectral decompositions can be given in terms of circle Fourier modes transplanted onto the boundary of the domain. An important underlying question is whether the operators are normal. Based on previous numerical investigations it appears that the standard boundary integral operators are normal only when the domain is a ball and here we prove that this is indeed the case for the acoustic single layer potential. We show that the acoustic single, double and conjugate double layer potential are normal in a scaled inner product on the ellipse. On more general smooth domains the operators can be split into a normal component plus a smooth perturbation. Numerical computations of pseudospectra are presented to demonstrate the nonnormal behaviour on general domains.
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