Improving Estimates for Discrete Polynomial Averages
Improving Estimates for Discrete Polynomial Averages
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改进离散多项式平均值的估计
DOI：
10.1007/s00041-020-09748-4
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发表时间：
2020
影响因子：
1.2
通讯作者：
Yang, Fan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Han, Rui;Kovač, Vjekoslav;Lacey, Michael T.;Madrid, José;Yang, Fan
对于将整数映射成整数的多项式P，定义作用于整数上的函数的平均运算符。我们证明了-改进的不等式$$\Begin{Align}\Vert A_N f\Vert_{\ell^q(\mathbb{Z})}\less sim_{P，p，q}N^{-d(\FRAC{1}{p}-\FRAC{1}{q})}\VERT f\Vert_{\ell^p(\mathbb{Z})}，\qquad N\in\mathbb{N}，\end{alized}$$where.对于一系列二次多项式，所建立的不等式是尖锐的，直到所允许的(p，q)对的边界。对于三级和更高级别，不平等接近于尖锐。在二次情形中，我们求助于Stein和Wainger所研究的离散分数次积分。在高次情形下，我们求助于最近由Bourain、Demeter和Guth建立的Vinogradov中值定理。
For a polynomialPmapping the integers into the integers, define an averaging operatoracting on functions on the integers. We prove sufficient conditions for the-improving inequality $$\begin{aligned} \Vert A_N f\Vert _{\ell ^q(\mathbb {Z})} \lesssim _{P,p,q} N^{-d(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})} \Vert f\Vert _{\ell ^p(\mathbb {Z})}, \qquad N \in \mathbb {N}, \end{aligned}$$where. For a range of quadratic polynomials, the inequalities established are sharp, up to the boundary of the allowed pairs of (p,q). For degree three and higher, the inequalities are close to being sharp. In the quadratic case, we appeal to discrete fractional integrals as studied by Stein and Wainger. In the higher degree case, we appeal to the Vinogradov Mean Value Theorem, recently established by Bourgain, Demeter, and Guth.
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