Cannon–Thurston maps for hyperbolic free group extensions
Cannon–Thurston maps for hyperbolic free group extensions
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用于双曲自由群扩展的 Cannon–Thurston 映射
DOI：
10.1007/s11856-016-1426-2
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发表时间：
2016
影响因子：
1
通讯作者：
Taylor, Samuel J.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Dowdall, Spencer;Kapovich, Ilya;Taylor, Samuel J.
本文详细分析了一类一般的双曲自由群扩张的Cannon-瑟斯顿映射。设F表示至少为3的有限秩自由群，考虑凸余紧子群Γ≤Out(F)，即从Γ到F的自由因子复形的轨道映射是拟等距嵌入的.子群Γ确定了F的一个扩张EΓ，Dowdall-Taylor的主要定理[dt14]指出在这个条件下Γ是双曲的当且仅当Γ是纯双曲的.本文给出了这些双曲自由群扩张的Cannon-瑟斯顿映射∂F→∂EΓ的一个显式几何刻画，它的存在是由Mitra的一个一般结果得到的.特别地，我们得到了关于Cannon-瑟斯顿映射的重数的一个一致界，表明该映射至多具有2阶(F)的重数。这个定理推广了Kapovich和Lustig[KL15]的主要结果，该结果处理了Γ是无限循环的特殊情况。我们还通过给出一个双曲自由群扩张的显式例子回答了Mahan Mitra的一个问题，对于这个双曲自由群扩张，从Γ的边界到自由群的叠片空间的自然映射(具有Chabauty拓扑)是不连续的。
This paper gives a detailed analysis of the Cannon–Thurston maps associated to a general class of hyperbolic free group extensions. Let F denote a free group of finite rank at least 3 and consider a convex cocompact subgroup Γ ≤ Out(F), i.e. one for which the orbit map from Γ into the free factor complex of F is a quasi-isometric embedding. The subgroup Γ determines an extensionEΓof F, and the main theorem of Dowdall–Taylor [DT14] states that in this situationEΓis hyperbolic if and only if Γ is purely atoroidal.Here, we give an explicit geometric description of the Cannon–Thurston maps ∂F → ∂EΓfor these hyperbolic free group extensions, the existence of which follows from a general result of Mitra. In particular, we obtain a uniform bound on the multiplicity of the Cannon–Thurston map, showing that this map has multiplicity at most 2 rank(F). This theorem generalizes the main result of Kapovich and Lustig [KL15] which treats the special case where Γ is infinite cyclic. We also answer a question of Mahan Mitra by producing an explicit example of a hyperbolic free group extension for which the natural map from the boundary of Γ to the space of laminations of the free group (with the Chabauty topology) is not continuous.
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