Classification of Positive Solitary Solutions of the Nonlinear Choquard Equation
Classification of Positive Solitary Solutions of the Nonlinear Choquard Equation
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非线性Choquard方程正孤立解的分类
DOI：
10.1007/s00205-008-0208-3
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发表时间：
2010-02
影响因子：
2.5
通讯作者：
Ma, Li
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Zhao, Lin;Ma, Li
本文解决了非线性定常Choquard方程$\Delta u-u+2u\left（\frac{1}{|X|}*| u| ^2\right）=0，\quad u\in H^1（\mathbb{R}^3），$$这可以被认为是Lieb和Lieb-Simon在20世纪70年代开始的论文中解释的单组分等离子体的Hartree-Fock理论的某种近似。首先证明了该方程的所有正解都必须关于某个不动点径向对称且单调递减。有趣的是，利用陈立欧提出的新的移动平面方法，我们将该问题转化为一个椭圆方程组。作为关键的一步，我们借助于Riesz势和Bessel势将这个微分系统转化为积分方程组，然后用积分形式的移动平面方法。其次，利用径向对称性，我们推导出Lieb工作的唯一性结果。我们的结论适用于研究广义形式方程正解的径向对称性。
In this paper, we settle the longstanding open problem concerning the classification of all positive solutions to the nonlinear stationary Choquard equation $$\Delta u-u+2u\left(\frac{1}{|x|}*|u|^2\right)=0, \quad u\in H^1(\mathbb{R}^3),$$ which can be considered as a certain approximation of the Hartree–Fock theory for a one component plasma as explained in Lieb and Lieb–Simon’s papers starting from 1970s. We first prove that all the positive solutions of this equation must be radially symmetric and monotone decreasing about some fixed point. Interestingly, to use the new method of moving planes introduced by Chen–Li–Ou, we deduce the problem into an elliptic system. As a key step, we transform this differential system into a system of integral equations with the help of Riesz and Bessel potentials, and then use the method of a moving plane in an integral form. Next, using radial symmetry, we deduce the uniqueness result from Lieb’s work. Our argument can be adapted well to study the radial symmetry of positive solutions of the equation in the generalized form.
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影响因子：
4.9
作者：
E. Lieb
通讯作者：
E. Lieb
影响因子：
2.4
作者：
T. Cazenave;P. Lions
通讯作者：
T. Cazenave;P. Lions
DOI：
--
发表时间：
2004-10
期刊：
arXiv: Analysis of PDEs
影响因子：
--
作者：
Li Ma;Dezhong Chen
通讯作者：
Li Ma;Dezhong Chen
DOI：
10.1137/080712301
发表时间：
2007-08
期刊：
SIAM J. Math. Anal.
影响因子：
--
作者：
Congming Li;Li Ma
通讯作者：
Congming Li;Li Ma
DOI：
10.1090/s0002-9939-05-08411-x
发表时间：
2005-10
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
Chaosong Jin;Congming Li
通讯作者：
Chaosong Jin;Congming Li