A Positive Formula for Type A Peterson Schubert Calculus
A Positive Formula for Type A Peterson Schubert Calculus
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A 型彼得森舒伯特微积分的正公式
DOI：
10.1007/s44007-022-00023-0
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Gorbutt, Brent
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Goldin, Rebecca;Gorbutt, Brent
Peterson簇是幂零Hessenberg簇的特例，Hessenberg簇是G/B的一类子簇，它出现在量子上同调、表示论和组合学的研究中。在类型A中，Peterson变体Y是中的一组完整旗帜的子品种，并配备了由标准环面T的一维环面子群S作用的动作。利用Harada和Tymoczko(Proc Lond Math Soc 103(1)：40-72,2011)中引入的Peterson-Schubert基，并通过限制一组特定的Schubert类来刻画等变上同调的乘积结构。特别地，通过给出它的结构常数的一个显式的、正的、组合的公式，我们证明了该乘积在适当的意义下是明显正的。我们证明的关键一步需要一个新的二项式系数的组合恒等式，它推广了Vandermonde的恒等式，并值得独立关注。
The Peterson variety is a special case of a nilpotent Hessenberg variety, a class of subvarieties ofG/Bthat have appeared in the study of quantum cohomology, representation theory and combinatorics. In type A, the Peterson varietyYis a subvariety of, the set of complete flags in, and comes equipped with an action by a one-dimensional torus subgroupSof a standard torusTthat acts on. Using thePeterson Schubert basisintroduced in Harada and Tymoczko (Proc Lond Math Soc 103(1):40–72, 2011) and obtained by restricting a specific set of Schubert classes fromto, we describe the product structure of the equivariant cohomology. In particular, we show that the product ismanifestly positivein an appropriate sense by providing an explicit, positive, combinatorial formula for its structure constants. A key step in our proof requires a new combinatorial identity of binomial coefficients that generalizes Vandermonde’s identity, and merits independent interest.
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