On the behavior of 1-Laplacian ratio cuts on nearly rectangular domains
On the behavior of 1-Laplacian ratio cuts on nearly rectangular domains
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关于近矩形域上 1-拉普拉斯比率切割的行为
DOI：
10.1093/imaiai/iaaa034
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发表时间：
2020
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Wu, Hau-tieng
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Hamilton, Wesley;Marzuola, Jeremy L.;Wu, Hau-tieng
在过去的十年中，拉普拉斯算子在数据分析学科中引起了越来越多的关注。然而，对其行为仍存在认识差距，限制了其实际应用。在本文中，我们对其在二维欧几里德空间中包含的域中的迭代行为感兴趣。给定一个连通集，定义一个集合序列，其中是（适当归一化的）诺伊曼-拉普拉斯正（或负）的第一个特征函数的子集。因为，这也称为域的比率切割。我们推测，只要这些集合到边界有一定的距离，它们就会收敛到以 Gromov-Hausdorff 距离为 2 的偏心率为边界的矩形集合。我们建立了这个猜想的一些方面，证明（1）足够接近矩形的域的 1-拉普拉斯谱割是一个比原始域更接近平坦的圆弧（最终导致四边形）和（2）接近长宽比矩形的四边形保持接近四边形，并以合适的度量更接近矩形。我们还讨论了一些数字方面并提出了许多悬而未决的问题。
The-Laplacian has attracted more and more attention in data analysis disciplines in the past decade. However, there is still a knowledge gap about its behavior, which limits its practical application. In this paper, we are interested in its iterative behavior in domains contained in two-dimensional Euclidean space. Given a connected set, define a sequence of setswhereis the subset ofwhere the first eigenfunction of the (properly normalized) Neumann-Laplacianis positive (or negative). For, this is also referred to as the ratio cut of the domain. We conjecture that these sets converge to the set of rectangles with eccentricity bounded by 2 in the Gromov–Hausdorff distance as long as they have a certain distance to the boundary. We establish some aspects of this conjecture forwhere we prove that (1) the 1-Laplacian spectral cut of domains sufficiently close to rectangles is a circular arc that is closer to flat than the original domain (leading eventually to quadrilaterals) and (2) quadrilaterals close to a rectangle of aspect ratiostay close to quadrilaterals and move closer to rectangles in a suitable metric. We also discuss some numerical aspects and pose many open questions.
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