Quantitative Reduction Theory and Unlikely Intersections
Quantitative Reduction Theory and Unlikely Intersections
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定量还原理论和不可能的交叉点
DOI：
10.1093/imrn/rnab173
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发表时间：
2022
影响因子：
1
通讯作者：
Daw C
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Daw C
我们证明了算术群的Borel和Harish-Chandra关于约化理论的定理的定量版本。首先，我们得到了约化群的任意有理表示的约化积分向量的长度的多项式界。其次，当算术子群在固定约化群的子群的实共轭类中变化时，我们得到了约化群的算术子群的基本集构造的多项式界。我们的结果允许我们将Pila-Zannier策略应用于主要极化阿贝尔表面的模空间的Zilber-Pink猜想。在前一篇文章的基础上，我们在伽罗瓦轨道假设下证明了这个猜想。最后，在一定的几何条件下，建立了四元数乘阿贝尔曲面上的点的伽罗瓦轨道假设。
We prove quantitative versions of Borel and Harish-Chandra’s theorems on reduction theory for arithmetic groups. Firstly, we obtain polynomial bounds on the lengths of reduced integral vectors in any rational representation of a reductive group. Secondly, we obtain polynomial bounds in the construction of fundamental sets for arithmetic subgroups of reductive groups, as the latter vary in a real conjugacy class of subgroups of a fixed reductive group. Our results allow us to apply the Pila–Zannier strategy to the Zilber–Pink conjecture for the moduli space of principally polarised abelian surfaces. Building on our previous paper, we prove this conjecture under a Galois orbits hypothesis. Finally, we establish the Galois orbits hypothesis for points corresponding to abelian surfaces with quaternionic multiplication, under certain geometric conditions.
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A. Yafaev