On well-posedness of the Muskat problem with surface tension
On well-posedness of the Muskat problem with surface tension
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表面张力的 Muskat 问题的适定性
DOI：
10.1016/j.aim.2020.107344
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发表时间：
2020
影响因子：
1.7
通讯作者：
Nguyen, Huy Q.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Nguyen, Huy Q.
我们考虑了一种流体或两种流体的表面张力问题，有或没有粘度跳跃，具有无限深度或Lipschitz刚性边界，在任意维d的界面上。该问题是非局部的，拟线性的，并且在Sobolev空间中，当sc = 1+ d 2时，是标度不变的。我们证明了大数据在所有次临界Sobolev空间H s (R d), s> s c中的局部适定性，允许曲率无界的初始界面，并且当d= 1时，不局部平方可积。据我们所知，这是第一个涵盖表面张力的Muskat问题的所有亚临界Sobolev空间的大数据完备性结果。我们用Dirichlet-Neumann算子重新表述了这个问题，并使用一种准微分方法将问题简化为一个显式抛物方程，这是一个独立的兴趣。
We consider the Muskat problem with surface tension for one fluid or two fluids, with or without viscosity jump, with infinite depth or Lipschitz rigid boundaries, and in arbitrary dimension d of the interface. The problem is nonlocal, quasilinear, and to leading order, is scaling invariant in the Sobolev space H s c (R d) with s c= 1+ d 2. We prove local well-posedness for large data in all subcritical Sobolev spaces H s (R d), s> s c, allowing for initial interfaces whose curvatures are unbounded and, furthermore when d= 1, not locally square integrable. To the best of our knowledge, this is the first large-data well-posedness result that covers all subcritical Sobolev spaces for the Muskat problem with surface tension. We reformulate the problem in terms of the Dirichlet-Neumann operator and use a paradifferential approach to reduce the problem to an explicit parabolic equation, which is of independent interest.
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