Gegenbauer and Other Planar Orthogonal Polynomials on an Ellipse in the Complex Plane
Gegenbauer and Other Planar Orthogonal Polynomials on an Ellipse in the Complex Plane
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复平面椭圆上的 Gegenbauer 和其他平面正交多项式
DOI：
10.1007/s00365-020-09515-0
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发表时间：
2020
影响因子：
2.7
通讯作者：
G. Vernizzi
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
G. Akemann; T. Nagao; I. Parra;G. Vernizzi
我们表明，几个家庭的经典正交多项式的真实的线也正交的内部的椭圆在复平面上，受加权平面勒贝格测度。特别是这些包括Gegenbauer多项式为包含勒让德多项式和子集的雅可比多项式。这些多项式提供了一个标准正交基，相应的加权Bergman空间形成了一个完备的度量空间。这导致了在复平面上的某个Selberg积分族。我们恢复已知的正交性的切比雪夫多项式的第一至第四类。极限又回到了已知的在整个复平面上正交的Hermite多项式。当椭圆退化为圆时，由截断酉随机矩阵系综的行列式点过程得到权函数和单项式。
We show that several families of classical orthogonal polynomials on the real line are also orthogonal on the interior of an ellipse in the complex plane, subject to a weighted planar Lebesgue measure. In particular these include Gegenbauer polynomialsforcontaining the Legendre polynomialsand the subsetof the Jacobi polynomials. These polynomials provide an orthonormal basis and the corresponding weighted Bergman space forms a complete metric space. This leads to a certain family of Selberg integrals in the complex plane. We recover the known orthogonality of Chebyshev polynomials of the first up to fourth kind. The limitleads back to the known Hermite polynomials orthogonal in the entire complex plane. When the ellipse degenerates to a circle we obtain the weight function and monomials known from the determinantal point process of the ensemble of truncated unitary random matrices.
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