The growth rate of the partial quotients in a class of continued fractions with parameters
The growth rate of the partial quotients in a class of continued fractions with parameters
复制标题
一类带参数的连分数中的部分商的增长率
DOI：
10.1016/j.jnt.2014.06.012
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发表时间：
2014-12
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Liang Tang
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Ting Zhong;Liang Tang
摘要让我们：N→ R是满足条件<$（k）+ k+ 1> 0的参数函数，T <$：（0，1]→（0，1]是由T <$（x）=− 1+（k+ 1）x1 +<$（k）− k <$（k）x定义的变换，x∈（1/（k+ 1），1/k]。在算法T中，每个x∈（0，1]都附加一个展开式，称为F的带参数广义连分式展开式. Schweiger [3].通过k 1（x）= k 1（T <$n − 1（x））和k n（x）= k 1（T <$n− 1（x））对每个n≥ 2，定义x的部分幂元的序列{k n（x）} n≥ 1。很明显，在参数函数满足的条件下，对于所有n≥ 1，kn + 1（x）≥ kn（x）。本文考虑了由E ∈（α）：={x∈（0，1]：kn + 1（x）≥ kn（x）α，对所有n≥ 1}给出的集合的大小，对任何α≥ 1.我们证明了dim H <$E <$（α）={1 α，当<$（k）<$$> 0（常数）; 1 α− β+ 1，当<$（k）<$k β且α≥ β≥ 1; 1，当<$（k）<$k β且α< β。其中dim H表示Hausdorff维数。第一个结果推广了J. Wu [5]的一个结果，他考虑了当λ = 0时的情形（即Engel展开）。
Abstract Let ϵ: N→ R be a parameter function satisfying the condition ϵ (k)+ k+ 1> 0 and let T ϵ:(0, 1]→(0, 1] be a transformation defined by T ϵ (x)=− 1+(k+ 1) x 1+ ϵ (k)− k ϵ (k) x for x∈(1/(k+ 1), 1/k]. Under the algorithm T ϵ, every x∈(0, 1] is attached an expansion, called generalized continued fraction expansion with parameters by F. Schweiger [3]. Define the sequence {k n (x)} n≥ 1 of the partial quotients of x by k 1 (x)=⌊ 1/x⌋ and k n (x)= k 1 (T ϵ n− 1 (x)) for every n≥ 2. It is clear that under the condition satisfied by the parameter function ϵ, k n+ 1 (x)≥ k n (x) for all n≥ 1. In this paper, we consider the size of the set given by E ϵ (α):={x∈(0, 1]: k n+ 1 (x)≥ k n (x) α for all n≥ 1} for any α≥ 1. We show that dim H E ϵ (α)={1 α, when ϵ (k)≡ ϵ 0 (constant); 1 α− β+ 1, when ϵ (k)∼ k β and α≥ β≥ 1; 1, when ϵ (k)∼ k β and α< β. where dim H denotes the Hausdorff dimension. The first result generalizes a result of J. Wu [5] who considered the case when ϵ≡ 0 (ie, Engel expansion).
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影响因子：
0.7
作者：
Jun Wu
通讯作者：
Jun Wu
DOI：
10.2307/2532125
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--
影响因子：
--
作者：
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通讯作者：
K. Falconer
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通讯作者：
Luming Shen;Yu-yuan Zhou
影响因子：
0.7
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T. Zhong
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10.1090/mmono/186
发表时间：
1999-11
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--
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作者：
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通讯作者：
Kazuya Kato;N. Kurokawa;Takeshi Saito