A Quantification of a Besicovitch Non-linear Projection Theorem via Multiscale Analysis
A Quantification of a Besicovitch Non-linear Projection Theorem via Multiscale Analysis
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通过多尺度分析量化贝西科维奇非线性投影定理
DOI：
10.1007/s12220-021-00793-z
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Taylor, Krystal
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Davey, Blair;Taylor, Krystal
贝西科维奇投影定理指出，如果平面的子集E在Hausdorff测度意义下具有有限长度，并且是完全不可求长的（因此它与任何Lipschitz图的交集长度为零），那么几乎E到直线的所有正交投影都将具有零测度。换句话说，纯粹不可求长的1-集的Favard长度消失了。在这篇文章中，我们证明了当线性投影被某些称为曲线投影的非线性投影所取代时，这个结果仍然成立。事实上，我们走得更远，并使用多尺度分析来证明这个贝西科维奇非线性投影定理的定量版本。粗略地说，我们表明，如果一个子集的平面有有限的长度在Hausdorff的意义上，几乎是纯粹的不可求长，那么它的Favard曲线的这个非常小。我们的技术建立在陶的技术上，陶在（Proc Lond Math Soc 98：559 - 584，2009）中证明了原始贝西科维奇投影定理的量化。
The Besicovitch projection theorem states that if a subsetEof the plane has finite length in the sense of Hausdorff measure and is purely unrectifiable (so its intersection with any Lipschitz graph has zero length), then almost every orthogonal projection ofEto a line will have zero measure. In other words, the Favard length of a purely unrectifiable 1-set vanishes. In this article, we show that when linear projections are replaced by certain non-linear projections calledcurve projections, this result remains true. In fact, we go further and use multiscale analysis to prove a quantitative version of this Besicovitch non-linear projection theorem. Roughly speaking, we show that if a subset of the plane has finite length in the sense of Hausdorff and is nearly purely unrectifiable, then itsFavard curve lengthis very small. Our techniques build on those of Tao, who in (Proc Lond Math Soc 98:559–584, 2009) proves a quantification of the original Besicovitch projection theorem.
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