Generalized persistence diagrams for persistence modules over posets
Generalized persistence diagrams for persistence modules over posets
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偏集上持久性模块的广义持久性图
DOI：
10.1007/s41468-021-00075-1
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发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Mémoli, Facundo
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kim, Woojin;Mémoli, Facundo
当一个范畴满足一定条件时，我们从范畴论的角度定义了任意定索引函子的秩不变量的概念。这推广了等级不变量的标准概念以及帕特尔最近的推广。具体地说，利用包含-排斥原理，可以从秩不变量中提取有限维向量空间中任意区间可分解持久模的条形码。泛化这个想法允许自由地选择索引位置来定义Patel的泛化持久性图ofF。特别重要的是，广义持久性图的定义与它的区间是否可分解无关。通过将我们的思想专门化到之字形持久模块，我们还证明了Reeb图的第零水平集条形码可以在纯集合论的情况下得到，而不需要传递到向量空间的范畴。将关于类型持续图的Patel半连续性定理推广到集合范畴的Lipschitz连续性定理。
When a categorysatisfies certain conditions, we define the notion ofrank invariantfor arbitrary poset-indexed functorsfrom a category theory perspective. This generalizes the standard notion of rank invariant as well as Patel’s recent extension. Specifically, the barcode of any interval decomposable persistence modulesof finite dimensional vector spaces can be extracted from the rank invariant by the principle of inclusion-exclusion. Generalizing this idea allows freedom of choosing the indexing posetofin defining Patel’s generalized persistence diagram ofF. Of particular importance is the fact that the generalized persistence diagram ofFis defined regardless of whetherFis interval decomposable or not. By specializing our idea to zigzag persistence modules, we also show that the zeroth level set barcode of a Reeb graph can be obtained in a purely set-theoretic setting without passing to the category of vector spaces. This leads to a promotion of Patel’s semicontinuity theorem about typepersistence diagram to Lipschitz continuity theorem for the category of sets.
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DOI：
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