On the mean curvature flow of submanifolds in the standard Gaussian space
On the mean curvature flow of submanifolds in the standard Gaussian space
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标准高斯空间中子流形的平均曲率流
DOI：
10.1007/s00025-020-01301-5
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发表时间：
2020-10
影响因子：
2.2
通讯作者：
Zhang Di
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Li An-Min;Li Xingxiao;Zhang Di
本文研究了标准Gauss度量空间（Rm+p，e（-竖线x竖线2）/m（g）over bar）中子流形的平均曲率流（MCF）的正则几何行为，其中（Rm+p，（g）over bar）是标准欧氏空间，x. Rm+p表示位置向量。注意，作为一个特殊的黎曼流形，（Rm+p，e（-垂直条x垂直条2）/m（g）over bar）有一个无界曲率。直到M-m上的一个同构族，我们在这里考虑的平均曲率流被证明等价于我们前面介绍的“共形平均曲率流”的一个特殊变体。本文的主要定理从几何上指出：标准高斯空间中任何位置向量的平方范数不等于m的浸入紧致子流形，在平均曲率流下，在有限时刻爆破，即位置或曲率爆破到无穷大;而且，利用这个主要定理，流动子流形保持正则的时间区间[0，T）存在一定的最优上界，当且仅当初始子流形收缩到原点或在流动下均匀膨胀到无穷大时，它才能达到边界。除主要定理外，我们还得到了一些有趣的结论，这些结论不仅对证明主要定理起着关键作用，而且部分地刻画了流的几何行为，具有独立的意义。
In this paper, we study the regular geometric behavior of the mean curvature flow (MCF) of submanifolds in the standard Gaussian metric space (Rm+p, e(-vertical bar x vertical bar 2)/m (g) over bar) where (Rm+p, (g) over bar) is the standard Euclidean space and x. Rm+p denotes the position vector. Note that, as a special Riemannian manifold, (Rm+p, e(-vertical bar x vertical bar 2)/m (g) over bar) has an unbounded curvature. Up to a family of diffeomorphisms on M-m, the mean curvature flow we considered here turns out to be equivalent to a special variation of the "conformal mean curvature flow" which we have introduced previously. The main theorem of this paper indicates, geometrically, that any immersed compact submanifold in the standard Gaussian space, with the square norm of the position vector being not equal to m, will blow up at a finite time under the mean curvature flow, in the sense that either the position or the curvature blows up to infinity; Moreover, by this main theorem, the interval [0, T) of time in which the flowing submanifolds keep regular has some certain optimal upper bound, and it can reach the bound if and only if the initial submanifold either shrinks to the origin or expands uniformly to infinity under the flow. Besides the main theorem, we also obtain some other interesting conclusions which not only play their key roles in proving the main theorem but also characterize in part the geometric behavior of the flow, being of independent significance.
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影响因子：
0.6
作者：
Liu, Ya-Nan;Jian, Huai-Yu
通讯作者：
Jian, Huai-Yu
DOI：
10.4310/cag.2013.v21.n3.a8
发表时间：
2011-05
期刊：
arXiv: Differential Geometry
影响因子：
--
作者：
Kefeng Liu;Hong-wei Xu;Fei Ye;Entao Zhao
通讯作者：
Kefeng Liu;Hong-wei Xu;Fei Ye;Entao Zhao
DOI：
10.1515/crll.2002.075
发表时间：
2002-01
期刊：
Crelle's Journal
影响因子：
--
作者：
O. C. Schnürer;Knut Smoczyk
通讯作者：
O. C. Schnürer;Knut Smoczyk
DOI：
--
发表时间：
2012-03
期刊：
arXiv: Differential Geometry
影响因子：
--
作者：
Kefeng Liu;Hong-wei Xu;Entao Zhao
通讯作者：
Kefeng Liu;Hong-wei Xu;Entao Zhao
DOI：
10.1007/bf02884020
发表时间：
2003-01
期刊：
Science in China Series A: Mathematics
影响因子：
--
作者：
H. Jian;Xingwang Xu
通讯作者：
H. Jian;Xingwang Xu