On semilinear Tricomi equations with critical exponents or in two space dimensions
On semilinear Tricomi equations with critical exponents or in two space dimensions
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关于具有临界指数或二维空间维度的半线性 Tricomi 方程
DOI：
10.1016/j.jde.2017.08.033
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发表时间：
2017-04
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Yin Huicheng
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
He Daoyin;Ingo Witt;Yin Huicheng
本文是我们在[9]和[10]中关于半线性Tricomi方程的最新工作的补充。对于初值为(u(0，⋅)，∂t u(0，⋅))=(u0，u1)的半线性Tricomi方程∞t 2 u⋅)，∂t⋅u=|u|p，其中t≥0，x∈Rn(n≥3)，p>；1，u i∈C0∞(Rn)(i=0，1)，我们在[9]和[10]中证明了存在一个临界指数pCrit(N)>；1，使得解u一般在有限时间内爆破，当1<；P<；p crit(N)，并且有一个针对p<；p crit(N)的全球小型解决方案。本文首先证明了∂t 2 u−tΔu=|u|p的解对于临界指数p=p Crit(N)和n≥2一般会爆破；其次，我们证明了∂t 2 u−tΔu=|u|p对于p>；p cr i t(N)和n=2的整体小数据解的存在性，从而系统地研究了方程∂t 2 u−tΔu=|u|p对于n≥2的爆破或整体解u的存在性.
This paper is a complement of our recent works on the semilinear Tricomi equations in [9] and [10]. For the semilinear Tricomi equation∂ t 2 u− t Δ u=| u| p with initial data (u (0,⋅),∂ t u (0,⋅))=(u 0, u 1), where t≥ 0, x∈ R n (n≥ 3), p> 1, and u i∈ C 0∞(R n)(i= 0, 1), we have shown in [9] and [10] that there exists a critical exponent p crit (n)> 1 such that the solution u, in general, blows up in finite time when 1< p< p crit (n), and there is a global small solution for p> p crit (n). In the present paper, firstly, we prove that the solution of∂ t 2 u− t Δ u=| u| p will generally blow up for the critical exponent p= p crit (n) and n≥ 2, secondly, we establish the global existence of small data solution to∂ t 2 u− t Δ u=| u| p for p> p c r i t (n) and n= 2. Thus, we have given a systematic study on the blowup or global existence of small data solution u to the equation∂ t 2 u− t Δ u=| u| p for n≥ 2.
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